行測(cè)數(shù)量關(guān)系之不定方程解題方法
行測(cè)數(shù)量關(guān)系不定方程的三大解題思路
行測(cè)數(shù)量關(guān)系部分經(jīng)?？疾椴欢ǚ匠踢@類題型，所謂不定方程，是指未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，且未知數(shù)受到某些限制（如有理數(shù)、整數(shù)、正整數(shù)等）的方程或方程組。解不定方程一定要講究方法和技巧，在此為大家梳理一下解不定方程的巧妙所在。
一、利用整除特性求解
當(dāng)?shù)仁接疫叺某?shù)和某個(gè)未知數(shù)系數(shù)能被同一個(gè)數(shù)整除（1除外）時(shí)，即能說(shuō)明含另外一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式也能被這個(gè)整數(shù)整除。
例1：超市將99個(gè)蘋(píng)果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋(píng)果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋(píng)果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問(wèn)兩種包裝盒相差多少個(gè)？（ ）
A.3 B.4 C.7 D.13
【答案】D【解析】按照題目當(dāng)中等量關(guān)系，可得方程12x+5y=99，由于x、y是整數(shù)，所以99能被3整除，12x也能被3整除，由此可得5y也能被3整除，從而判定y能被3整除，y=3，x=7（舍去），y=15，x=2，符合題意，差為13，因此選擇D。
二、利用尾數(shù)特性求解
尾數(shù)即一個(gè)數(shù)的末尾數(shù)字。當(dāng)出現(xiàn)某個(gè)未知數(shù)的系數(shù)是5或10時(shí)，應(yīng)該想到用尾數(shù)法求解。因?yàn)?的倍數(shù)的尾數(shù)只有0或5這兩種可能，而10的倍數(shù)的尾數(shù)只有0，分情況去分析時(shí)比較簡(jiǎn)單。
例2：超市將99個(gè)蘋(píng)果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋(píng)果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋(píng)果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問(wèn)兩種包裝盒相差多少個(gè)？（ ）
A.3 B.4 C.7 D.13
【答案】D【解析】按照題目當(dāng)中等量關(guān)系，可得方程12x+5y=99，由于x、y是整數(shù)，所以等式后側(cè)尾數(shù)為9，5y的尾數(shù)要么0，要么5，只有5符合，12x的尾數(shù)為4。12x的尾數(shù)為4，要么24，要么84，只有24符合。因此求出x=2，y=15，差為13，因此D。
三、利用奇偶性求解
基礎(chǔ)特性：
奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)；
奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)；偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)；
奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)；偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。
例3：超市將99個(gè)蘋(píng)果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝12個(gè)蘋(píng)果，小包裝盒每個(gè)裝5個(gè)蘋(píng)果，共用了十多個(gè)盒子剛好裝完。問(wèn)兩種包裝盒相差多少個(gè)？（ ）
A.3 B.4 C.7 D.13
【答案】D【解析】按照題目當(dāng)中等量關(guān)系，可得方程12x+5y=99，由于x、y是整數(shù)，12x是偶數(shù)，99是奇數(shù)，所以得出5y是奇數(shù)，得出y為奇數(shù)，只有y=15，x=2符合，因此差為13，選擇D項(xiàng)。
上述是不定方程的三種解法，根據(jù)這些方法結(jié)合選項(xiàng)，能快速求解不定方程。在實(shí)際練習(xí)題目時(shí)，建議各位考生優(yōu)先利用整除思想，出現(xiàn)5的倍數(shù)時(shí)可以優(yōu)先考慮尾數(shù)法，出現(xiàn)2的倍數(shù)時(shí)優(yōu)先考慮奇偶性解不定方程。
行測(cè)數(shù)量關(guān)系：巧解不定方程的三個(gè)好辦法
方程法是解決行測(cè)數(shù)量關(guān)系題目的重要方法之一，對(duì)大多數(shù)考生而言，解普通方程難度不大，但是求解不定方程，除了最基本的代入排除之外，還能如何更快、更準(zhǔn)確地解出正確答案呢？帶大家來(lái)了解一下：
一、不定方程的定義
當(dāng)未知數(shù)的個(gè)數(shù)大于獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)時(shí)，我們稱這樣的方程為不定方程。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不定方程的解會(huì)有無(wú)數(shù)組，是不固定的。
二、正整數(shù)范圍內(nèi)求解不定方程
解不定方程時(shí)根據(jù)未知數(shù)的取值特點(diǎn)進(jìn)行討論，會(huì)大大減少討論的次數(shù)，所以根據(jù)不定方程的特點(diǎn)，常用的解不定方程的方法除代入排除外，還可結(jié)合整除、奇偶性和尾數(shù)法等多種方法求解。
1.看到系數(shù)和常數(shù)有公約數(shù)，優(yōu)先想整除
例1：小張的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的兩個(gè)乘積加起來(lái)剛好等于900，問(wèn)孩子出生在哪一個(gè)季度？（ ）
A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度
【答案】D【解析】設(shè)出生月份為x，出生日期為y，月份和日期都是正整數(shù)，則29x+24y=900，問(wèn)題為出生的哪一季度，需要知道小張孩子出生的月份，即x的值。由于24、900有公約數(shù)12，即都是12的倍數(shù)，所以29x也應(yīng)是12的倍數(shù)，且29并不是12的倍數(shù)，則x應(yīng)是12的倍數(shù)，即出生月份為12月，也就是第四季度。選擇D選項(xiàng)。
方法總結(jié)：在不定方程中，當(dāng)其中一項(xiàng)未知數(shù)的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)有除1外的公約數(shù)時(shí)，可結(jié)合整除特性分析排除錯(cuò)誤選項(xiàng)。
2.系數(shù)有奇有偶，方程不用愁
例2：某單位向希望工程捐款。其中部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)每人捐50元，普通員工每人捐20元，部門(mén)所有人共捐款320元，已知該部門(mén)總?cè)藬?shù)超過(guò)10人，問(wèn)該部門(mén)可能有幾名部門(mén)領(lǐng)導(dǎo)？（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B【解析】設(shè)領(lǐng)導(dǎo)有x人，普通員工y人，人數(shù)必須為正整數(shù)，則50x+20y=320，化簡(jiǎn)得5x+2y=32。32和2y是偶數(shù)，則5x必然是偶數(shù)，x為偶數(shù)，排除A、C。若領(lǐng)導(dǎo)有4人，
總?cè)藬?shù)沒(méi)有超過(guò)10，若領(lǐng)導(dǎo)有2人，
總?cè)藬?shù)超過(guò)10人，故領(lǐng)導(dǎo)為2人，答案選B。
方法總結(jié)：在不定方程中，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)為一奇一偶時(shí)，可結(jié)合奇偶性分析，排除錯(cuò)誤選項(xiàng)。
3.系數(shù)是5的倍數(shù)，尾數(shù)來(lái)幫你
例3：現(xiàn)有451個(gè)同樣大小的橙子裝入大、小兩種袋子中，已知大袋每袋裝20個(gè)橙子，小袋每袋裝17個(gè)橙子，每個(gè)袋子都必須裝滿，問(wèn)至少需要小袋子的個(gè)數(shù)：（ ）
A.5 B.3 C.13 D.9
【答案】B【解析】設(shè)大袋子有x個(gè)，小袋子有y個(gè)，根據(jù)題意小袋子、大袋子共裝了451個(gè)橙子，可列方程20x+17y=451。由于x、y均為整數(shù)，20x的尾數(shù)一定為0，則17y的尾數(shù)必為1，排除A、D，代入B符合題意。
方法總結(jié)：當(dāng)不定方程的解有正整數(shù)范圍限制時(shí)，若未知數(shù)的系數(shù)是5的倍數(shù)，那么該項(xiàng)的尾數(shù)就是0或5，就可以結(jié)合常數(shù)項(xiàng)的尾數(shù)將另外一項(xiàng)的尾數(shù)確定，進(jìn)而排除錯(cuò)誤選項(xiàng)。
以上三種方法并不是孤立存在的，根據(jù)不同方程特點(diǎn)，考生們可以靈活選擇，甚至三種方法可以結(jié)合到一起使用。
行測(cè)不定方程組考查的兩種題型
近年來(lái)，行測(cè)題目考查越發(fā)地靈活。如數(shù)量關(guān)系中求解不定方程的基本題型外，還會(huì)考查一些變形問(wèn)題，主要有兩類，同學(xué)們?cè)谧鲱}的時(shí)候就比較容易混淆，實(shí)際上只要掌握了題目具體提問(wèn)方式，就會(huì)變得很簡(jiǎn)單。下面，就帶大家一起來(lái)看一下不定方程組的兩種考查題型。
例1：如果買(mǎi)4支相同的鉛筆和8個(gè)相同的筆記本需要25元，買(mǎi)8支相同的鉛筆和16支相同的鋼筆需要46元，若要買(mǎi)5支相同的鉛筆、5支相同的鋼筆和5個(gè)相同的筆記本，則需要多少元？（ ）
A.30 B.35 C.40 D.45
【答案】A【解析】方法一，設(shè)一支鉛筆x元，一個(gè)筆記本y元，一支鋼筆z元，則根據(jù)題意可得4x+8y=25①，8x+16z=46②，①×2+②可得8x+16y+8x+16z=96，則x+y+z=6，故所求為5（x+y+z）=30。
方法二，設(shè)一支鉛筆x元，一個(gè)筆記本y元，一支鋼筆z元，則根據(jù)題意可得4x+8y=25①，8x+16z=46②，因?yàn)榉匠虃€(gè)數(shù)小于未知數(shù)個(gè)數(shù)，所以方程有無(wú)窮多組解，可涉其中一個(gè)未知數(shù)為特值，可令x=0，則與此對(duì)應(yīng)的
所以5（x+y+z）=30。
例2：某種考試已舉行了24次，共出了試題426道，每次出的題數(shù)或者為25題，或者為16題，或者為20題，那么考25題的有多少次？（ ）
A.4 B.2 C.6 D.9
【答案】B【解析】設(shè)考25道、20道、16道的次數(shù)分別是x、y、z次。由題x+y+z=24①，25x+20y+16z=426②，②-①×16，可得9x+4y=42。
方法一，9x和42均能被3整除，則4y能被3整除，即y能被3整除，當(dāng)y=3時(shí)，x非整數(shù)，不滿足題意；當(dāng)y=6時(shí)，x=2，滿足題意，故考25題的有2次。
方法二，42、4y均是偶數(shù)，所以9x是偶數(shù)，9不是偶數(shù)，所以x是偶數(shù)，排除D；代人A，當(dāng)x=4時(shí)，y=1.5，不是整數(shù)，不滿足題意；代人B，當(dāng)x=2時(shí)，y=6，滿足題意，直接選B。
區(qū)分：分析這兩類題型，第一個(gè)題目，是求解的是x，y，z的組合值，而我們第二題是求解的某個(gè)未知數(shù)的值。
解題方法：遇到第一組求x，y，z的組合值，可以利用設(shè)某個(gè)未知數(shù)特值為零的方式去進(jìn)行求解；遇到第二組不定方程組求解其中未知數(shù)的數(shù)值，我們可以采用“降維”的思想求解，即將方程的個(gè)數(shù)降為一個(gè)，未知數(shù)降為兩個(gè)，進(jìn)行求解。
通過(guò)以上題目，我們可以看到解決不定方程組的題型，希望同學(xué)們能通過(guò)這次學(xué)習(xí)，把這兩種題型區(qū)分清楚，大家可以多找一些此類題目練習(xí)，以便熟練地掌握此種方法。
不定方程的解題思路
不定方程（組）是指未知數(shù)個(gè)數(shù)多于方程個(gè)數(shù)，不能通過(guò)一般的消元法直接得到唯一解，常與差倍比問(wèn)題、利潤(rùn)問(wèn)題等熱門(mén)考點(diǎn)相結(jié)合，故需要考生們?cè)趥淇嫉倪^(guò)程中加以重視。今天與大家一起探討一下考試中不定方程（組）的解題思路。
不定方程（組）包含不定方程與不定方程組，而根據(jù)題目條件對(duì)未知數(shù)是否必須為整數(shù)的限制，可以將不定方程組分為限定性不定方程組和非限定性不定方程組。前者指未知數(shù)必須為正整數(shù)，后者則無(wú)此要求。兩種類型的不定方程組問(wèn)題都有其固定的解題思路，方法性與技巧性比較強(qiáng)，掌握相應(yīng)的思路去解題便會(huì)事半功倍。
不定方程
題型特征：根據(jù)題干可列出一個(gè)包含兩個(gè)未知數(shù)的方程。
解題方法：首先分析奇偶、倍數(shù)、尾數(shù)等數(shù)字特性，然后嘗試代入排除。
例【2015聯(lián)考】每年三月某單位都要組織員工去A、B兩地參加植樹(shù)活動(dòng)，已知去A地每人往返車(chē)費(fèi)20元，人均植樹(shù)5棵，去B地每人往返車(chē)費(fèi)30元，人均植樹(shù)3棵，設(shè)到A地有員工x人，A、B兩地共植樹(shù)y棵，y與x之間滿足y=8x-15，若往返車(chē)費(fèi)總和不超過(guò)3000元時(shí)，那么，最多可植樹(shù)多少棵（ ）？
A.498 B.400 C.489 D.500
【解題思路】已知植樹(shù)棵數(shù)y=8x-15，一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)為不定方程，8x為偶數(shù)，15為奇數(shù)，偶數(shù)-奇數(shù)=奇數(shù)，則y為奇數(shù)，排除A、B、D項(xiàng)，正確答案為C。
【點(diǎn)評(píng)】本題若采用常規(guī)解方程的方法也可解題，但耗費(fèi)時(shí)間久，不適合考場(chǎng)使用。本題不需要算車(chē)費(fèi)等其他數(shù)值，因此可利用數(shù)字特性直接鎖定答案。
不定方程組
1.限定性不定方程組
題型特征：可根據(jù)題意列出方程組，未知數(shù)多于方程數(shù)，且未知數(shù)必須為正整數(shù)，常用來(lái)表示人數(shù)、盒子或者其他物體的個(gè)數(shù)等。
解題方法：先消元轉(zhuǎn)化為不定方程，再按不定方程求解。
例1【2017江蘇】小王打靶共用了10發(fā)子彈，全部命中，都在10環(huán)、8環(huán)和5環(huán)上，總成績(jī)?yōu)?5環(huán)，則命中10環(huán)的子彈數(shù)是：（ ）
A.1發(fā) B.2發(fā) C.3發(fā) D.4發(fā)
【解題思路】設(shè)命中10環(huán)、8環(huán)、5環(huán)的子彈數(shù)分別為正整數(shù)x、y、z。由子彈總數(shù)為10發(fā)，總環(huán)數(shù)為75環(huán)，可列不定方程組：
x+y+z=10……①；
10x+8y+5z=75……②；
求命中10環(huán)子彈數(shù)x，由②-①×5可得不定方程5x+3y=25。5x、25均為5倍數(shù)，3y也必然為5倍數(shù)，y只能為5，此時(shí)x=2，正確答案為B。
【點(diǎn)評(píng)】將不定方程組消元變?yōu)椴欢ǚ匠虝r(shí)，求誰(shuí)保留誰(shuí)，消掉另外兩個(gè)未知數(shù)中較好計(jì)算的一個(gè)。本題也可直接分析方程②，10x+8y+5z=75中，10x、5z、75均為5的倍數(shù)，則8y一定也是5的倍數(shù)，y=5、10、15…，加和不能超過(guò)75，則y=5，代入求解同樣可以鎖定B項(xiàng)。但該方法有局限性，如當(dāng)z的系數(shù)為6時(shí)無(wú)法使用，需要根據(jù)具體題目具體分析。
例2【2018四川下】某企業(yè)采購(gòu)A類、B類和C類設(shè)備各若干臺(tái)，21臺(tái)設(shè)備共用48萬(wàn)元。已知A、B、C類設(shè)備的單價(jià)分別為1.2萬(wàn)元、2萬(wàn)元和2.4萬(wàn)元。問(wèn)該企業(yè)最多可能采購(gòu)了多少臺(tái)C類設(shè)備？（ ）
A.16 B.17 C.18 D.19
【解題思路】設(shè)該企業(yè)采購(gòu)A類、B類和C類設(shè)備數(shù)量分別為A、B、C。已知“21臺(tái)設(shè)備共用48萬(wàn)元”，則A+B+C=21……①，1.2A+2B+2.4C=48……②。聯(lián)立兩式，②×5-①×6可得：4B+6C=114，化簡(jiǎn)得：2B+3C=57。由于設(shè)備購(gòu)買(mǎi)數(shù)量一定是不為零的整數(shù)，根據(jù)倍數(shù)特性，57和3C均可以被3整除，則2B一定可以被3整除。若要C類設(shè)備最多即B最小，B最小為3，代入原式可得：C=17，A=1，符合題意。因此該企業(yè)最多可能采購(gòu)了17臺(tái)C類設(shè)備，正確答案為B。
【點(diǎn)評(píng)】消元時(shí)也可消掉B，②-①×2可得：-0.8A+0.4C=6，約分得：-2A+C=15，即C-2A=15。2A為偶數(shù)，15為奇數(shù)，奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)，則C必須是奇數(shù)，排除A、C項(xiàng)。剩二代一，題干要求“最多”，因此從最大的選項(xiàng)開(kāi)始代入，代入D項(xiàng)：19-2A=15，解得A=2，B=0，由于設(shè)備購(gòu)買(mǎi)數(shù)量一定是不為零的整數(shù)，故B≠0，排除D項(xiàng)。提示大家，正確答案有且僅有一個(gè)，排除掉三個(gè)錯(cuò)誤答案后，剩下的一定為正確答案，無(wú)需再次驗(yàn)證。
2.非限定性不定方程組
題型特征：可根據(jù)題意列出方程組，未知數(shù)多于方程數(shù)，且未知數(shù)不一定為正整數(shù)，常指物品的價(jià)格、工作的時(shí)間等，需要求解的是一組未知數(shù)的和。
解題方法：特值法（賦零）或配系數(shù)法。
當(dāng)未知數(shù)表示時(shí)間和錢(qián)，可以為小數(shù)，這樣的方程組有無(wú)數(shù)組解，有好多解都滿足方程，隨便找一組即可，而0最簡(jiǎn)單，因此可以用賦零法。建議使用時(shí)讓最復(fù)雜的未知數(shù)為0，代入進(jìn)行計(jì)算。而配系數(shù)法中系數(shù)是湊出來(lái)的，若考場(chǎng)上無(wú)法湊出來(lái)，則無(wú)法求解，因此建議用賦零法解題。
例1【2016春季聯(lián)考】木匠加工2張桌子和4張凳子共需要10個(gè)小時(shí)，加工4張桌子和8張椅子需要22個(gè)小時(shí)。問(wèn)如果他加工桌子、凳子和椅子各10張，共需要多少小時(shí)？（ ）
A.47.5 B.50 C.52.5 D.55
【解題思路】假設(shè)每張桌子、凳子、椅子的所需時(shí)間分別為a小時(shí)、b小時(shí)、c小時(shí)，則2a+4b=10、4a+8c=22，化簡(jiǎn)得到a+2b=5①，a+2c=5.5②，①+②=2a+2b+2c=10.5，則10（a+b+c）=52.5，所需時(shí)間52.5小時(shí)，正確答案為C。
【點(diǎn)評(píng)】本題中未知數(shù)為時(shí)間，時(shí)間不一定是整數(shù)，且要求的量為一組數(shù)的和，若考生數(shù)字敏感性較差，無(wú)法通過(guò)配系數(shù)求解，也可用賦零法解題。賦值a=0，原方程組可轉(zhuǎn)化為4b=10，8c=22，4（b+c）=21，10（a+b+c）=52.5。
例2【2018上?！楷F(xiàn)有甲、乙、丙三種貨物，若購(gòu)買(mǎi)甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若購(gòu)買(mǎi)甲2件、乙5件、丙11件共需350元。則購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙各1件共需多少元？（ ）
A.50 B.100 C.150 D.200
【解題思路】根據(jù)題干條件，假設(shè)甲、乙、丙的價(jià)格依次是x、y、z元，則根據(jù)題意可列方程組：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②。賦丙的價(jià)格為0，即z=0。原方程組轉(zhuǎn)化為x+3y=200；2x+5y=350，解得：x=50，y=50。可得：x+y+z=50+50+0=100元，正確答案為B。
【點(diǎn)評(píng)】若采用配系數(shù)法，可將原方程組：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②，①×3得：3x+9y+21z=600③，②×2：4x+10y+22z=700④，④-③解得x+y+z=100。配系數(shù)法不是每道題都適用，需要較強(qiáng)的數(shù)字敏感度，建議優(yōu)先掌握賦零法。
掌握不定方程（組）的解法可有效提高和差倍比、經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)、年齡問(wèn)題等常考題型的解題速度與正確率，建議各位考生加強(qiáng)練習(xí)，熟練運(yùn)用。
