行測(cè)數(shù)量關(guān)系之空瓶換水如何換得“又快又準(zhǔn)”
在近幾年的行測(cè)考試中，數(shù)量關(guān)系部分的統(tǒng)籌問題考察頻率有所提升，逐漸成為考試“新寵”。面對(duì)這種靈活多變的題型，很多考生都選擇了放棄。在此給大家分享一種統(tǒng)籌問題中常見模型——空瓶換水問題的解題方法，助力大家在考場(chǎng)上能快速拿分。
基本原理
我們通過下面這一道題目來探究一下這類題目的通用解法。
例1：3個(gè)空啤酒瓶可以免費(fèi)換一瓶啤酒，現(xiàn)有32個(gè)啤酒空瓶，請(qǐng)問最多可以免費(fèi)喝多少啤酒（ ）？
A.13 B.14 C.15 D.16
【答案】D【解析】很多同學(xué)拿到這類題目，往往就是一步一步地去換：
第一步：32個(gè)空瓶可以拿出30個(gè)空瓶來換10瓶啤酒，還剩2個(gè)空瓶；
第二步：把這10瓶啤酒喝掉可以得到10個(gè)空瓶，那么就一共有12個(gè)空瓶，再拿去換4瓶啤酒；
第三步：把這4瓶啤酒喝掉可以得到4個(gè)空瓶，拿出3個(gè)空瓶換1瓶啤酒，這時(shí)還剩下1個(gè)空瓶；
第四步：把這1瓶啤酒喝掉可以得到1個(gè)空瓶，一共就有了2個(gè)空瓶。2個(gè)空瓶看似不夠換一瓶，但實(shí)則我們可以借1個(gè)空瓶過來，湊夠3個(gè)空瓶，換得1瓶啤酒喝掉后再把借來的這1個(gè)瓶子還掉就可以了。
這樣一共可以免費(fèi)喝10+4+1+1=16瓶，故選擇D選項(xiàng)。
但這個(gè)方法非常浪費(fèi)時(shí)間，而且最后這個(gè)瓶子是需要借的，很多同學(xué)想不到這點(diǎn)。所以為大家?guī)硪环N更快解題的方法：
解析：根據(jù)題意3個(gè)空瓶=1瓶啤酒，我們可以把這1瓶啤酒看成1個(gè)空瓶加1份酒，得到3個(gè)空瓶=1個(gè)空瓶+1份酒，那么等式兩邊的1個(gè)空瓶可以消掉，變成2個(gè)空瓶=1份酒，也就是有2個(gè)空瓶就可以喝1份酒，那么32個(gè)空瓶就可以喝32÷2=16瓶酒，故選擇D項(xiàng)。
【模型特征】：已知兌換規(guī)則及空瓶數(shù)，求最多能喝到的瓶數(shù)。
【基本公式】：假設(shè)n個(gè)空瓶可以換一瓶水，那么m個(gè)空瓶最多可以喝到m÷(n-1)瓶水。
靈活考法
為了讓大家能夠更好地掌握這類題型，我們?cè)僖黄饋砹私庖幌滤Ｒ姷淖冃巍?/span>
例2：某啤酒開展“12個(gè)空瓶換1瓶啤酒”的大型促銷活動(dòng)，小張和他朋友在活動(dòng)期間共喝了245瓶啤酒，那么他們至少需要買多少瓶啤酒（ ）？
A.223 B.224 C.225 D.226
【答案】C【解析】根據(jù)題意小張和他朋友喝的245瓶啤酒包括了花錢買的和通過兌換得到這兩部分。因此這道題本質(zhì)上還是空瓶換水的思路：將一瓶啤酒看成1個(gè)空瓶+1份酒，所以根據(jù)兌換規(guī)則得到12空瓶=1空瓶+1份酒，也就是11空瓶=1份酒，設(shè)買了x瓶水，可得：
解得想x≈224.6，因?yàn)閤為正整數(shù)且最少為224.6，所以n向上取整為225，故選擇C項(xiàng)。
通過這道題可以得到空瓶換水問題的變形總結(jié)：已知兌換規(guī)則及喝到的水?dāng)?shù)，求至少買多少瓶。這類題目只需要利用兌換規(guī)則列方程求解即可。值得注意的是當(dāng)未知數(shù)解出來為非整數(shù)時(shí)，記得取整。
空瓶換水問題的理解
下面我們來通過具體的題目了解一下什么是空瓶換水問題以及具體的解法。
【例題1】如果4個(gè)礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水，現(xiàn)有15個(gè)礦泉水空瓶，不交錢最多可以喝礦泉水( )。
A.3瓶 B.4瓶 C.5瓶 D.6瓶
【答案】C【解析】解法(一)：4個(gè)礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水，有15個(gè)礦泉水空瓶不交錢最多可以喝礦泉水呢？可以按一下三步進(jìn)行考察：
第一步：15個(gè)礦泉水空瓶=12個(gè)礦泉水空瓶+3個(gè)礦泉水空瓶。12個(gè)礦泉水空瓶可換3瓶水，喝完水后有多出三個(gè)空瓶，加上原來剩下的3個(gè)礦泉水空瓶，目前還有6個(gè)礦泉水空瓶。
第二步：6個(gè)礦泉水空瓶=4個(gè)礦泉水空瓶+2個(gè)礦泉水空瓶，4個(gè)礦泉水空瓶可換1瓶礦泉水，喝完又剩下1個(gè)空瓶。總共還有3個(gè)礦泉水空瓶。
第三步：3個(gè)礦泉水空瓶貌似不可以再換了，但是大家要發(fā)現(xiàn)題目當(dāng)中問的“最多”二字，所以我們需要考慮極限的情況，那么此時(shí)可以找別人借一個(gè)空瓶，加上原來剩下的3個(gè)礦泉水空瓶，可以換一瓶礦泉水，喝完水后再把剩下的這個(gè)空瓶還回去。因此15個(gè)礦泉水空瓶，不交錢最多可以喝礦泉水3+1+1=5瓶。答案選C。
解法(二)：大家可以發(fā)現(xiàn)，利用解法一我們雖然可以解出上面題目的答案，但是我們也計(jì)算了三步之多，如果空瓶的數(shù)量較多的話，那么我們就需要不斷地將喝完的空瓶繼續(xù)去換，那么計(jì)算的步驟可能遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止三步，而在我們分秒必爭(zhēng)的行測(cè)考試中，這種解法顯然不適用于實(shí)戰(zhàn)。那么我們有沒有方法可以快速解決這一類空瓶換水問題呢？接下來，我們給大家介紹解法二。
其實(shí)大家可以發(fā)現(xiàn)，題目中讓我們關(guān)注的是可以喝多少瓶水，那我們不妨重點(diǎn)關(guān)注空瓶跟喝多少瓶之間的關(guān)系。該題中條件“4個(gè)礦泉水空瓶可以換一瓶礦泉水”可寫成恒等式的形式：
4個(gè)礦泉水空瓶=1瓶礦泉水=1個(gè)礦泉水空瓶+喝1瓶水
兩邊消去1個(gè)礦泉水空瓶而得：3個(gè)礦泉水空瓶=喝1瓶水，再用15除以3得5。則15個(gè)礦泉水空瓶，不交錢最多可以喝礦泉水5瓶。答案選C。
根據(jù)這個(gè)題我們可以得到：若題中的交換規(guī)則是N個(gè)空瓶換1瓶水，即N空瓶=1瓶水=1空瓶+喝一瓶水，即(N-1)個(gè)空瓶=喝1瓶水。所以若有A個(gè)空瓶，則最多可以喝A/(N-1)瓶水，然后直接取整數(shù)即可。
空瓶換水的運(yùn)用
【例題2】5個(gè)汽水空瓶可以換一瓶汽水，某班同學(xué)喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那么他們至少需要買汽水多少瓶（ ）？
A.129 B.128 C.127 D.126
【答案】A【解析】共喝到的汽水161瓶，其中包括自己買的以及汽水空瓶換的，通過空瓶換水的兌換規(guī)則，可知5空瓶=1瓶汽水=1空瓶+喝一瓶汽水，整理可以得到4空瓶=喝一瓶汽水。設(shè)自己買的汽水為X瓶，可以得到X+X/4=161，X=128.8，我們知道買的汽水需要是整數(shù)瓶，所以至少需要買129瓶汽水。
行測(cè)數(shù)量關(guān)系空瓶換水問題模型解法
統(tǒng)籌問題是利用數(shù)學(xué)來研究人力物力的運(yùn)用和籌劃，使他們能發(fā)揮最大效率的一類問題。在近年來的各地國省考中，統(tǒng)籌問題偶有出現(xiàn)，而如果沒有方法地盲目去解，容易浪費(fèi)很多時(shí)間，所以關(guān)于統(tǒng)籌問題，我們需要明確題目中所呈現(xiàn)出的模型，對(duì)應(yīng)找到針對(duì)性的方法。今天就帶大家來學(xué)習(xí)統(tǒng)籌問題中的一個(gè)常見模型----空瓶換水問題的模型。
首先我們先來看一個(gè)例題：
例題：某商店規(guī)定，每四個(gè)空啤酒瓶可以換一瓶啤酒，小明家買了24瓶啤酒，他家前后最多能喝到多少瓶啤酒（ ）？
A.30 B.31 C.32 D.33
【答案】C【解析】空瓶換水問題通常會(huì)在題目里明確制定規(guī)則，多少個(gè)空瓶可以交換多少瓶水或酒，如果沒有方法地去解，那就是完成一次一次的換酒過程：24瓶啤酒的空酒瓶首先可以換來六瓶啤酒，這六瓶啤酒喝完又剩下六個(gè)空瓶，可以第二次交換一瓶啤酒，同時(shí)剩余兩個(gè)空瓶，這一瓶啤酒喝完再次產(chǎn)生一個(gè)空瓶，加上第二次交換后剩余的還有三個(gè)空瓶，但交換沒有結(jié)束，此時(shí)找店家借一個(gè)空瓶湊齊四個(gè)空瓶換一瓶啤酒，這瓶啤酒喝完后可以把剩余的空瓶還給店家，這樣全部交換完成后，一共喝到了24+6+1+1=32瓶啤酒，于是選擇C選項(xiàng)。這樣的解題方法可以完成題目，但是由于步驟較多，流程較長(zhǎng)，如果題目中初始空瓶數(shù)量比較多的情況下，就會(huì)浪費(fèi)時(shí)間。
所以接下來讓我們抽象一下空瓶換水問題的模型：
假設(shè)n個(gè)空瓶可以換一瓶水，那么我們把這一瓶水也可以稱為一個(gè)空瓶加一份瓶裝水，于是n空瓶=1空瓶+1瓶中水，化簡(jiǎn)后可得(n-1)個(gè)空瓶可以換到1瓶中水，這樣就避免了最后一步借還空瓶的過程，因?yàn)檫@樣每一次只換瓶中水，不剩余空瓶，所以當(dāng)我們有m個(gè)空瓶時(shí)，最多就可以換到m/(n-1)瓶中水。
這個(gè)模型帶入上面的例題，4個(gè)空啤酒瓶可以換一瓶啤酒，那么3個(gè)空啤酒瓶就可以換一份純啤酒，現(xiàn)在喝完之后產(chǎn)生了24個(gè)空瓶，那么最多可以交換24/3=8，也就是8份純啤酒，所以最多能喝到24+8=32瓶啤酒，這樣就極大簡(jiǎn)化了做題的步驟，節(jié)約了做題時(shí)間。
所以總結(jié)一下空瓶換水的模型，也就是把題干中的n空瓶換一瓶水化簡(jiǎn)成(n-1)空瓶換一份水，這樣的小技巧你學(xué)會(huì)了嗎？
行測(cè)數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)：“空瓶”巧換水
行測(cè)數(shù)量關(guān)系是令很多同學(xué)頭疼的一類題型，它不僅題型多樣且難度不一，考場(chǎng)上很多同學(xué)甚至都沒有時(shí)間做，實(shí)在可惜。其實(shí)這一部分只要大家堅(jiān)持學(xué)習(xí)，不管是國考還是省考，都有一部分題型是各位同學(xué)在考試中一定可以做出來的，并且不需要花費(fèi)太長(zhǎng)時(shí)間，尤其是一些技巧性很強(qiáng)的題目，比如錯(cuò)位重排、雞兔同籠、隔板模型等等。當(dāng)同學(xué)們遇到類似的題目時(shí)，可以直接代入模型或者公式快速搞定。今天帶大家一起來學(xué)習(xí)一下空瓶換水問題的解題技巧。
空瓶換水類的題目大家可能見過，只不過解起來可能過程比較繁瑣不夠快速，而且容易出錯(cuò)。我們結(jié)合下面這道題目進(jìn)行說明。
例題：若5個(gè)礦泉水空瓶可以免費(fèi)換1瓶礦泉水，現(xiàn)有132個(gè)礦泉水空瓶，最多可以免費(fèi)喝到幾瓶礦泉水（ ）？
A.31瓶 B.32瓶 C.33瓶 D.34瓶
【答案C【解析】】拿到這道題，很多同學(xué)估計(jì)已經(jīng)開始在草稿紙上演算了，一步一步地去換水。先拿132個(gè)空瓶去換水，可以換132÷5=26......2，即換26瓶水且余2個(gè)空瓶；26瓶水喝完又有26個(gè)空瓶，和之前剩余的2個(gè)空瓶此時(shí)共有28個(gè)空瓶。28個(gè)空瓶又可以換28÷5=5.....3，即換5瓶水且余3個(gè)瓶子；以此類推，8÷5=1.....3，此時(shí)喝完1瓶水得到1個(gè)空瓶，加上剩余的3個(gè)空瓶，一共有4個(gè)空瓶，到這一步有同學(xué)就想手里的瓶子已經(jīng)不夠換水了，那么一共喝到了26+5+1=32瓶。遺憾的是，經(jīng)過這樣一步一步繁瑣的過程最終還是做錯(cuò)了，實(shí)在可惜。
為什么呢？這樣思考本身沒有問題，但是易錯(cuò)的地方是最后4個(gè)空瓶能否換水呢？此時(shí)差一點(diǎn)就可以換到水了，不換豈不有點(diǎn)可惜？那能否想辦法換到呢？就差一個(gè)空瓶而已，試想一下，我們可否借一個(gè)空瓶，那么我們就湊齊了5個(gè)空瓶，此時(shí)便可換到1瓶水，喝完有1個(gè)空瓶，正好可以還回去，兩全其美，何樂而不為呢？這樣一想，我們完全還可以再喝到1瓶水的，所以我們最多可以喝到33瓶水，正確答案應(yīng)該選C項(xiàng)。
經(jīng)過上面這樣一步步地思考兌換的過程，我們不難發(fā)現(xiàn)，這樣去做空瓶換水類的題目太過繁瑣，而且一不小心容易出錯(cuò)，那么有沒有技巧可以幫助我們避免錯(cuò)誤，而且能快速做對(duì)類似的題目呢？肯定是有的。實(shí)際上，我們根據(jù)題干中的交換規(guī)則“5個(gè)空瓶子換1瓶水”，可得“5空瓶=1瓶水=1空瓶+1份水”，化簡(jiǎn)為“4空瓶=1份水”，所以最多能免費(fèi)喝到132÷4=33瓶水，故選擇C選項(xiàng)。
結(jié)論：若n個(gè)空瓶換1瓶水，則n-1個(gè)空瓶=1份水。
實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練
某啤酒廠為促銷啤酒，開展6個(gè)空啤酒瓶換1瓶啤酒的活動(dòng)，孫先生去年花錢先后買了109瓶該品牌啤酒，期間不斷用空啤酒瓶去換啤酒，請(qǐng)問孫先生去年一共喝掉了多少瓶啤酒（ ）？
A.127瓶 B.128瓶 C.129瓶 D.130瓶
【答案】D【解析】根據(jù)題干信息，6個(gè)空瓶=1個(gè)空瓶+1份啤酒，則5個(gè)空瓶=1份啤酒，孫先生買了109瓶該啤酒，也就有109個(gè)空啤酒瓶，因此109個(gè)空啤酒瓶最多可以換到啤酒109÷5=21.X瓶，所以孫先生去年一共喝掉109+21=130瓶啤酒，故本題選D。
通過上面兩道題目，大家不難發(fā)現(xiàn)空瓶換水類題目易掌握、易得分，每位同學(xué)都可以快速掌握，只要考到了，直接套用公式就可以輕松解決。
