行測(cè)數(shù)量關(guān)系：如何快速掌握和定最值問(wèn)題
巧解和定最值問(wèn)題
在行測(cè)考試當(dāng)中，數(shù)量關(guān)系往往是最容易被同學(xué)們放棄的部分，有些同學(xué)一看到數(shù)量的題目下意識(shí)的就想放棄，其實(shí)這種想法是不可取的，數(shù)量的題目當(dāng)中也存在一些易得分的題型，就比如說(shuō)和定最值問(wèn)題，今天就來(lái)說(shuō)一說(shuō)如何解決這類(lèi)問(wèn)題。
一、題型特征
已知多個(gè)數(shù)的和一定，求其中某數(shù)最值的問(wèn)題。
二、解題原則及方法
求某個(gè)量的最大值，其他量應(yīng)盡可能小。
求某個(gè)量的最小值，其他量應(yīng)盡可能大。
三、習(xí)題練習(xí)
例題1：一次數(shù)學(xué)考試滿分為100分，某班前六名同學(xué)的平均分為95分，排名第六的同學(xué)得86分，假如每個(gè)人得分是互不相同的整數(shù)，那么排名第三的同學(xué)最少得多少分（ ）？
A.94 B.97 C.95 D.96
【答案】D【解析】要使排名第三的同學(xué)得分最少，則應(yīng)使其他同學(xué)得分盡量多，前兩名同學(xué)最多分別得100分和99分。設(shè)排名第三的同學(xué)最少得x分，則排名第四、五名的同學(xué)最多分別得x-1，x-2分，有100+99+x+（x-1）+（x-2）+86=95×6，解得x=96，故排名第三的同學(xué)最少得96分。
規(guī)律總結(jié)：根據(jù)解題原則確定不了具體量的值，可以設(shè)未知數(shù)列方程求解。
例題2：六一兒童節(jié)期間，100名幼兒園學(xué)生參加5項(xiàng)活動(dòng)，參加人數(shù)最多的活動(dòng)人數(shù)不超過(guò)參加人數(shù)最少活動(dòng)人數(shù)的2倍，則參加人數(shù)最少的活動(dòng)最少有多少人參加（ ）？
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】C【解析】設(shè)參加人數(shù)最少的活動(dòng)有x人，則參加人數(shù)最多的活動(dòng)人數(shù)為2x人，要想?yún)⒓尤藬?shù)最少的活動(dòng)人數(shù)最少，則參加其他項(xiàng)目的人要盡可能多，那么參加其他三項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)也可均為2x，則有2x×4+x=100，解得x=11.X，向上取整可得x=12，故參加人數(shù)最少的活動(dòng)最少有12人參加。
規(guī)律總結(jié)：根據(jù)方程求解時(shí)，求出的數(shù)不是整數(shù)，問(wèn)最小（至少），向上取整。
例題3：植樹(shù)節(jié)來(lái)臨之際，120人參加義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)，共分成人數(shù)不等且每組不少于10人的六個(gè)小組，每人只能參加一個(gè)小組，則參加人數(shù)第二多的小組最多有（ ）人。
A.32 B.34 C.36 D.38
【答案】C【解析】和一定，要使第二多的小組的人數(shù)盡量多，則其他小組的人數(shù)應(yīng)盡可能少，設(shè)參加人數(shù)第二多的小組有x人，如下：
則有（x+1）+x+13+12+11+10=120，解得x=36.5，因所求為整數(shù)，且為最多，故向下取整，即參加人數(shù)第二多的小組的人數(shù)最多有36人。
規(guī)律總結(jié)：根據(jù)方程求解時(shí)，求出的數(shù)不是整數(shù)，問(wèn)最多（最大），向下取整。
通過(guò)以上幾道題目，相信同學(xué)們已經(jīng)對(duì)和定最值問(wèn)題有了一定的了解，希望大家可以快速的掌握這種題型的解題方法，讓這類(lèi)題目不再成為我們學(xué)習(xí)路上的阻礙。
行測(cè)和定最值問(wèn)題之三步解題
首先，我們得知道怎樣的題型是屬于和定最值問(wèn)題！和定最值，此類(lèi)題型的特點(diǎn)就是一組數(shù)的和是一個(gè)定值，要我們求其中某個(gè)量的最大（小）值。例如，一個(gè)班上6名同學(xué)的總分和為490分，問(wèn)最高分同學(xué)得分最低得幾分？這就是一種典型的和定最值問(wèn)題，對(duì)于這種題目，我們只需要進(jìn)行下列三個(gè)步驟即可快速求解：
1.對(duì)未知數(shù)由大到小排序：一、二、三……
2.標(biāo)箭頭：↓↑（求某個(gè)量最大（小），則其余量盡可能小（大））
3.設(shè)所求為x，結(jié)合條件把其它量表示出來(lái)，再根據(jù)和一定構(gòu)建等量求解。
例1：5人參加百分制考試，成績(jī)總和為330分，已知5人都及格了，成績(jī)均為整數(shù)且依據(jù)成績(jī)排名無(wú)并列名次，求第一名最少得了多少分（ ）？
A.67 B.68 C.69 D.70
【答案】B【解析】5個(gè)得分為5個(gè)數(shù)，和一定，求第一名的得分最小值，典型和定最值問(wèn)題，直接三步走：
第一步：寫(xiě)一～五，由大到小排序；第二步：“一”要最小，標(biāo)個(gè)“↓”，那么在和一定的情況下，其他量都要大，標(biāo)“↑”；第三步：設(shè)“一”為x，由于“一”求最小“二”盡可能大，兩個(gè)數(shù)需要盡可能接近且均為整數(shù)，故差1滿足，依次類(lèi)推得到其余數(shù)的取值。根據(jù)得分總和為330構(gòu)建等量關(guān)系：5x-10=330，解的：x=68，答案選B。
例2：植樹(shù)節(jié)來(lái)臨之際，120人參加義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)，共分成人數(shù)不等每組不少于10人的六個(gè)小組，每人只能參加一個(gè)小組，則參加人數(shù)第二多的小組最多有多少人（ ）？
A.32 B.34 C.36 D.38
【答案】C【解析】6個(gè)小組的人數(shù)為6個(gè)數(shù)，他們和為120，是個(gè)定值，和定最值問(wèn)題，直接三步走：
由大到小排序后，“二”要大，其余要小，標(biāo)相應(yīng)的箭頭；設(shè)“二”為x，那么“一”要小但又不相等，所以為x+1，又“三、四、五、六”依次要小，且最小不少于10，又互不相等，所以依次為13、12、11、10，根據(jù)6個(gè)數(shù)的和構(gòu)建等量關(guān)系：2x+47=120，解得：x=36.5，求出來(lái)的x為最大值，也就是說(shuō)x≤36.5，同時(shí)又是整數(shù)，故所求為36，答案選C。
此類(lèi)方法其實(shí)就是準(zhǔn)確按照三個(gè)步驟去解題即可。接下來(lái)在備考過(guò)程中勤加練習(xí)，準(zhǔn)確判斷題目是否符合和定最值的題型，進(jìn)而用此方法快速解決問(wèn)題。
兩招解決和定最值問(wèn)題
由于行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，一直以來(lái)是各位考生比較頭痛的部分，尤其是遇到考查極限思維的極值類(lèi)問(wèn)題，大部分考生選擇直接放棄做這類(lèi)題目。其實(shí)極值類(lèi)問(wèn)題中有一種題型相對(duì)簡(jiǎn)單，只要掌握一定的解題技巧就可以輕松應(yīng)對(duì)的和定最值問(wèn)題。
【題干特征】
若干個(gè)量的加和是定值，且求某量的最大值或者最小值。
示例：兩個(gè)正整數(shù)的和為15，求①最大的數(shù)最大是多少？②最大的數(shù)最小是多少？
解析：①要求最大的數(shù)最大，另一個(gè)數(shù)要盡可能小，最小為1，最大的數(shù)最大為14；②要求最大的數(shù)最小，另一個(gè)數(shù)要盡可能大，再大也不能比最大的數(shù)大，最大為7，故最大的數(shù)最小為8。
【解題原則】
1.和一定時(shí)，求某量的最大值，讓其他量都盡量小。
2.和一定時(shí)，求某量的最小值，讓其他量都盡量大。
【刷題鞏固】
【例1】七個(gè)小朋友共采摘草莓43顆，且每人采摘的數(shù)量互不相等，采摘草莓?dāng)?shù)量最多的小朋友最多采摘了（ ）顆。
A.20 B.21 C.22 D.23
【答案】C【解析】七個(gè)小朋友采摘的草莓?dāng)?shù)量和一定，要使數(shù)量最多的小朋友采摘的草莓?dāng)?shù)量最多，應(yīng)讓其他小朋友采摘的盡量少，又由于每個(gè)小朋友采摘數(shù)量互不相等，故其他六個(gè)小朋友采摘的數(shù)量從小到大依次是1、2、3、4、5、6，則數(shù)量最多的小朋友最多采摘43-6-5-4-3-2-1=22顆，故選C。
【例2】五人的體重之和是423斤，他們的體重都是整數(shù)，并且各不相同，則體重最輕的人最重可能為（ ）。
A.80斤 B.82斤 C.84斤 D.86斤
【答案】B【解析】五人的體重之和是423斤，想求體重最輕的最重，則需要其他人的體重盡可能輕且為各不相同的整數(shù)，若設(shè)體重最輕的人最重x斤，則其他四人體重從輕到重依次為（x+1）、（x+2）、（x+3）、（x+4）斤，根據(jù)和為423斤，列方程有x+x+1+x+2+x+3+x+4=423，解得x=82.6，體重最輕的人最重為82.6斤，不能比82.6斤再重，因此向下取整最重為82斤，故選B。
“小系數(shù)，同方向”解行測(cè)和定最值
應(yīng)用前提
這類(lèi)題目既然屬于和定最值問(wèn)題，那么必然滿足和定最值的條件：和定、求最值。也就是題干中直接或間接給出了幾個(gè)數(shù)“和一定”的描述，讓求最大值或最小值。除此之外，還需能根據(jù)題干條件列出不確定具體系數(shù)的二元一次方程組。此時(shí)，我們只需要依據(jù)題干信息確定系數(shù)即可，具體為“小系數(shù)，同方向”。
口訣含義
小系數(shù)，即從系數(shù)較小的未知量入手；同方向，小系數(shù)與自身未知量取值方向相同，大系數(shù)與小系數(shù)方向相同。
經(jīng)典例題
例1：觀眾對(duì)五位歌手的歌曲進(jìn)行投票，每張選票都可以選擇五首歌曲中的一首或多首，但只有選擇不超過(guò)3首歌曲的選票才是有效票。五首歌曲的得票數(shù)分別為總票數(shù)的82%、73%、69%、51%和45%，那么本次投票的有效率最高可能為：（ ）
A.95% B.90% C.85% D.80%
【答案】B【解析】根據(jù)題干信息，可假設(shè)本次參與投票的觀眾共100人，則這100名觀眾共投出82+73+69+51+45=320票。設(shè)有效投票的人數(shù)有x人，無(wú)效投票的人數(shù)有y人，則有x+y=100；每首歌曲可投的票數(shù)有1、2、3、4、5票，不超過(guò)3票為有效票，可得n1x+n2y=320(其中n1=1、2、3，n2=4、5)，根據(jù)“小系數(shù)，同方向”可知，x前的系數(shù)較小，優(yōu)先看x前系數(shù)，要使投票有效率盡可能高，則有效投票盡可能多，即x前系數(shù)要盡可能大，那么y前的系數(shù)也要盡可能地大，此時(shí)n1=3、n2=5，則有3x+5y=320，聯(lián)立方程解得x=90，即本次投票的有效率最高為90÷100×100%=90%，選擇B。
例2：參加某部門(mén)招聘考試的共有120人，考試內(nèi)容共有6道題。1至6道題分別有86人、88人、92人、76人、72人和70人答對(duì)，如果答對(duì)3道或3道題以上的人員能通過(guò)考試，那么至少有多少人能通過(guò)考試（ ）？
A.32 B.40 C.50 D.61
【答案】D【解析】根據(jù)題干信息，本次考試共答對(duì)86+88+92+76+72+70=484題，設(shè)本次考試通過(guò)的有x人，沒(méi)有通過(guò)的有y人，根據(jù)共120人參加考試，可得x+y=120，共答對(duì)484題，可得n1x+n2y=484(其中n1=3、4、5、6，n2=1、2)，根據(jù)“小系數(shù)，同方向”可知，y前的系數(shù)較小，優(yōu)先看y前系數(shù)，要使通過(guò)考試的人最少，則未通過(guò)考試的人答對(duì)的題目盡可能多，即y前系數(shù)要盡可能大，那么x前的系數(shù)也要盡可能地大，此時(shí)n1=6、n2=2，則有6x+2y=484，聯(lián)立方程解得x=61，選擇D。
通過(guò)以上題目，我們可以看到解決這類(lèi)和定最值問(wèn)題，關(guān)鍵是理解“小系數(shù)，同方向”這一解題原則，大家可以多找一些此類(lèi)題目練習(xí)，以便熟練地掌握此種方法。
