行測(cè)數(shù)量關(guān)系：不定方程解題技巧
不定方程解題的關(guān)鍵所在
在行測(cè)數(shù)學(xué)運(yùn)算中許多題目核心考查數(shù)與數(shù)的運(yùn)算關(guān)系。因此，“數(shù)字”及其相關(guān)的性質(zhì)是我們算術(shù)的基礎(chǔ)，也是我們解題的關(guān)鍵所在。我們需要警惕的是，該部分內(nèi)容從表面上看似乎只需要牢固記憶的概念性基礎(chǔ)知識(shí)。但事實(shí)是，如果我們能將概念性基礎(chǔ)知識(shí)應(yīng)用得當(dāng)，這些概念性基礎(chǔ)知識(shí)就會(huì)變成實(shí)用性非常強(qiáng)的解題技巧。
知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)述
我們?cè)诮忸}時(shí)，會(huì)經(jīng)常遇到關(guān)于求解不定方程的題目，對(duì)于不定方程的求解，常用的方法有整除法、尾數(shù)法、奇偶性、質(zhì)合性和代入排除。今天我們重點(diǎn)說(shuō)一下如何靈活應(yīng)用整除、奇偶性來(lái)求解不定方程，幫助我們迅速鎖定正確答案。
整除法：當(dāng)未知數(shù)系數(shù)跟常數(shù)之間存在公約數(shù)。
奇偶性：當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)存在一奇一偶時(shí)。
方法應(yīng)用
我們通過(guò)幾道例題來(lái)說(shuō)明如何利用這些方法求解不定方程：
例1：3x+4y=56，已知x、y均為正整數(shù)，則x=（ ）？
A5 B.8 C.9 D.10
【答案】B【解析】根據(jù)題意，題目中的表達(dá)式3x+4y=56中包含有2個(gè)未知數(shù)x和y，而表達(dá)式只有一個(gè)，像這種未知數(shù)個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程個(gè)數(shù)的方程我們就稱它為不定方程。我們已知x和y均為正整數(shù)，觀察未知數(shù)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，我們發(fā)現(xiàn)未知數(shù)y的系數(shù)4與常數(shù)項(xiàng)56之間恰好存在公約數(shù)4，而4乘以任何一個(gè)非零的數(shù)，結(jié)果也是4的倍數(shù)，因此我們能夠得出4y和56都是4的整數(shù)倍，或者說(shuō)他們均能被4整除，而3與4是互質(zhì)關(guān)系，3不能被4整除，因此，我們能得出（ ）+4的倍數(shù)=4的倍數(shù)，（ ）必為4的倍數(shù)，因此x為4的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)能夠滿足條件的只有B，故本題選擇B。
通過(guò)上述例題我們不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)未知數(shù)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)存在公約數(shù)的時(shí)候，我們可以通過(guò)整除關(guān)系進(jìn)行排除答案。
例2：小明將49個(gè)蘋果裝進(jìn)兩種包裝盒，大包裝盒每個(gè)裝10個(gè)蘋果，小包裝盒每個(gè)裝3個(gè)蘋果，共用了盡可能多的盒子剛好裝完。問(wèn)小包裝盒總共用了多少個(gè)（ ）？
A.1 B.3 C.5 D.7
【答案】B【解析】設(shè)大包裝盒子有x個(gè)，小包裝盒子有y個(gè)，根據(jù)題意可知：3x+10y=49，由于10y肯定是一個(gè)偶數(shù)，而49為一個(gè)奇數(shù)，所以根據(jù)奇偶性3x必須為一個(gè)奇數(shù)，又因?yàn)?0y為5的倍數(shù)，所以10y的尾數(shù)肯定是0，最終結(jié)果的尾數(shù)為9，所以3x的尾數(shù)只能為9，代入選項(xiàng)ABCD，只有選項(xiàng)B的計(jì)算結(jié)果顯示尾數(shù)為9，故正確選項(xiàng)為B選項(xiàng)。
通過(guò)以上例題示例，相信各位同學(xué)對(duì)求解不定方程問(wèn)題有了一個(gè)更深的認(rèn)識(shí)，這類題型并不難，有了這兩種解題方法之后，我們?cè)诳荚嚂r(shí)就能做到快速解題。
“盯”住系數(shù)解不定方程
在行測(cè)考試中，計(jì)算問(wèn)題是?？嫉囊活悊?wèn)題，而在計(jì)算問(wèn)題中又經(jīng)常會(huì)涉及不定方程的考查。這類題目看似復(fù)雜，其實(shí)難度較低，只需要結(jié)合系數(shù)的特點(diǎn)就能快速解決。今天就和大家一起來(lái)學(xué)習(xí)一下。
一、不定方程的定義
1.不定方程：未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于獨(dú)立方程個(gè)數(shù)的方程或方程組。
2.獨(dú)立方程：表達(dá)同一個(gè)方程式的稱為同一個(gè)獨(dú)立方程。例如
，稱為同一個(gè)獨(dú)立方程。
二、常見應(yīng)用
1.整除特性：適用于未知數(shù)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)存在公因數(shù)。
例1：已經(jīng)x和y均為正整數(shù)，則y為多少（ ）？
A.6 B.7 C.8 D.9
【答案】C【解析】觀察等式左右兩邊，可發(fā)現(xiàn)120與8存在公因數(shù)8，120是8的倍數(shù)，8x也是8的倍數(shù)，x和y都為正整數(shù)，可得13y也應(yīng)是8的倍數(shù)，而13不是8的倍數(shù)，那么y必定是8的倍數(shù)，即能夠被8整除，觀察選項(xiàng)只有C選項(xiàng)能夠被8整除，故本題選C。
例2：某批發(fā)市場(chǎng)有大、小兩種規(guī)格的盒裝雞蛋，每個(gè)大盒里裝有23個(gè)雞蛋，每個(gè)小盒里裝有16個(gè)雞蛋。餐廳采購(gòu)員小王去該市場(chǎng)買了500個(gè)雞蛋，則大盒裝一共比小盒裝（ ）
A.多2盒 B.少1盒 C.少46個(gè)雞蛋 D.多52個(gè)雞蛋
【答案】D【解析】設(shè)大盒數(shù)量為x，小盒數(shù)量為y，則23x+16y=500，由于16y、500均是4的倍數(shù)，則23x也是4的倍數(shù)，即x是4的倍數(shù)。當(dāng)x=4、8時(shí)，y均為非整數(shù)，排除；當(dāng)x=12時(shí)，y=14符合題意；當(dāng)x=16、20時(shí)，y均為非整數(shù)，排除。故大盒裝比小盒裝少14-12=2盒，多23×12-16×14=52個(gè)雞蛋，選擇D。
2.奇偶性（應(yīng)用環(huán)境：當(dāng)未知數(shù)前的系數(shù)一奇一偶時(shí)比較好用）
例3：辦公室工作人員使用紅、藍(lán)兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個(gè)紅色文件袋可以裝7份文件，每個(gè)藍(lán)色文件袋可以裝4份文件。要使每個(gè)文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍(lán)色文件袋的數(shù)量分別為（ ）個(gè)。
A.1、6 B.2、4 C.4、1 D.3、2
【答案】D【解析】設(shè)紅色文件袋x個(gè)，藍(lán)色y個(gè)，依據(jù)題意得，7x+4y=29，4y為偶數(shù)，29為奇數(shù)，則7x為奇數(shù)，x為奇數(shù)，排除B、C。代入A項(xiàng)，7×1+4×6=31，不符合，排除A，直接選擇D。
3.代入排除法
例4：某班有56名學(xué)生，每人都參加了a、b、c、d、e五個(gè)興趣班中的其中一個(gè)，已知有27人參加a興趣班，參加b興趣班的人數(shù)第二多，參加c、d興趣班的人數(shù)相同，e興趣班的參加人數(shù)最少，只有6人。問(wèn)參加b興趣班的學(xué)生有多少個(gè)（ ）？
A.7個(gè) B.8個(gè) C.9個(gè) D.10個(gè)
【答案】C【解析】根據(jù)題意有，27+b+2c+6=56，則2c+b=23。且b和c均為正整數(shù)。代入A選項(xiàng)：b=7，有c=8，b為第三大，與題意不符，排除A；代入B選項(xiàng)：b=8，c=3.5，c不為整數(shù)，與題意不符，排除B；代入C選項(xiàng)：b=9，有c=7，符合題意，此題選C。
4.尾數(shù)法（應(yīng)用環(huán)境：當(dāng)未知數(shù)前的系數(shù)是5或5的倍數(shù)時(shí)）
例5：有271位游客欲乘大、小兩種客車旅游，已知大客車有37個(gè)座位，小客車有20個(gè)座位。為保證每位游客均有座位，且車上沒有空座位，則需要大客車的輛數(shù)是（ ）。
A.1輛 B.3輛 C.2輛 D.4輛
【答案】B【解析】根據(jù)題意，設(shè)大客車需要x輛，小客車需要y輛，則37x+20y=271。20y的尾數(shù)是0，則37x的尾數(shù)是1，結(jié)合選項(xiàng)可知，x=3滿足題意。
以上就是行測(cè)數(shù)量關(guān)系不定方程的常用求解方法，希望大家能在上述例題的基礎(chǔ)上學(xué)會(huì)舉一反三，通過(guò)解題方法及應(yīng)用環(huán)境的總結(jié)，將這一類題目分?jǐn)?shù)穩(wěn)穩(wěn)握在手中。
怎樣快速求解不定方程？
不定方程的特點(diǎn)是：未知數(shù)個(gè)數(shù)大于獨(dú)立方程個(gè)數(shù)，比如4x+3y=168，有兩個(gè)未知數(shù)卻只有一個(gè)獨(dú)立方程，此類方程雖然不好直接求解，但是結(jié)合行測(cè)題目都為選擇題，即可以通過(guò)代入排除方法篩選答案，代入過(guò)程我們也可以應(yīng)用一些技巧，優(yōu)先排除部分選項(xiàng)。
技巧一：出現(xiàn)公約數(shù)，整除找出路
例1：某單位向希望工程捐款，其中部門領(lǐng)導(dǎo)每人捐50元，普通員工每人捐20元，某部門所有人共捐款320元，已知該部門人數(shù)超過(guò)10人，問(wèn)該部門可能有幾名領(lǐng)導(dǎo)（ ）？
A.1 B.2 C.3 D.5
【答案】B【解析】根據(jù)題干描述，部門領(lǐng)導(dǎo)捐款總額+普通員工捐款總額=總捐款額度；設(shè)部門領(lǐng)導(dǎo)x人，普通員工y人。得出等量關(guān)系50x+20y=320，化簡(jiǎn)得：5x+2y=32，且x、y表示實(shí)際人數(shù)，皆為正整數(shù)，觀察得y的系數(shù)2與常數(shù)項(xiàng)32有公約數(shù)2，故2y為一個(gè)可以被2整除的正整數(shù)，加上5x得到32，仍可以被2整除，故5x可以被2整除，則x必可以被2整除，正確答案B。
小結(jié)：在正整數(shù)范圍內(nèi)求解時(shí)，未知數(shù)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)存在非1公約數(shù)時(shí)，可用整除。
技巧二：系數(shù)一奇一偶，性質(zhì)顯現(xiàn)身手
例2：辦公室工作人員使用紅藍(lán)兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件，每個(gè)紅色文件袋可裝7份文件，每個(gè)藍(lán)色文件袋可裝4份文件，要使每個(gè)文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍(lán)色文件袋的數(shù)量分別為多少個(gè)（ ）？
A.1、6 B.2、4 C.4、1 D.3、2
【答案】D【解析】根據(jù)題干描述，紅色文件袋所裝文件數(shù)+藍(lán)色文件袋所裝文件數(shù)=文件總數(shù)，設(shè)紅色文件袋用x個(gè)，藍(lán)色y個(gè)，則有：7x+4y=29。觀察兩未知數(shù)系數(shù)一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，x、y表示文件袋個(gè)數(shù)都為正整數(shù)，則4y為偶數(shù)，29為奇數(shù)，一個(gè)偶數(shù)加7x得到奇數(shù)，故7x為奇數(shù)，即x為奇數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)排除BC，代入A選項(xiàng)等式不成立排除，正確答案D。
小結(jié)：在正整數(shù)范圍內(nèi)求解時(shí)，未知數(shù)系數(shù)一奇一偶時(shí)，可用奇偶性。
技巧三：尾數(shù)0或5，追著個(gè)位堵
例3：有271位乘客欲乘大小兩種客車旅游，已知大客車有37個(gè)座位，小客車有20個(gè)座位，為保證每位游客均有座位，且車上沒有空座，則需要大客車多少（ ）？
A.1輛 B.3輛 C.2輛 D.4輛
【答案】B【解析】根據(jù)題干描述，大客車乘坐人數(shù)+小客車乘坐人數(shù)=總?cè)藬?shù)，設(shè)大客車x輛，小客車y輛，則37x+20y=271,x、y表示車的輛數(shù)，均為正整數(shù)。20y尾數(shù)為0，加37x得到271尾數(shù)為1，故37x尾數(shù)為1，結(jié)合選項(xiàng)只有B滿足要求。
小結(jié)：在正整數(shù)范圍內(nèi)求解時(shí)，未知數(shù)系數(shù)為5或10的倍數(shù)即尾數(shù)為0或5時(shí)可用尾數(shù)法。
通過(guò)三個(gè)例題對(duì)不定方程三個(gè)解題技巧進(jìn)行了分享，大家要想熟練掌握還需多練習(xí)、勤應(yīng)用。
