數(shù)量關(guān)系考點(diǎn)——多者合作
知識(shí)引導(dǎo)
多者合作研究的是多個(gè)主體通過一定的方式合作完工的一類問題。特點(diǎn)為有多個(gè)主體完成同一項(xiàng)工作，所以效率一般為多個(gè)主體的效率之和。
解題原則
解決多者合作，關(guān)鍵在于梳理題干描述的不同合作方式，可適當(dāng)結(jié)合題干信息將未知量設(shè)為特值，來簡化運(yùn)算。不同題型對(duì)應(yīng)設(shè)不同的量為特值，再結(jié)合工程問題的基本公式，那么多者合作問題便可以迅速解決。
解題思路
一、已知不同主體完成同一項(xiàng)工程所用的時(shí)間，設(shè)工作總量為“1”或者為完工時(shí)間的公倍數(shù)；
二、已知各個(gè)主體之間的效率比，按最簡比設(shè)效率為特值；
三、已知多個(gè)主體的效率相同時(shí)，設(shè)每個(gè)主體單位效率為1。
解題技巧
技巧一、已知多個(gè)主體的完工時(shí)間，可設(shè)工作總量為時(shí)間的公倍數(shù)
例1：某工程項(xiàng)目，由甲項(xiàng)目公司單獨(dú)做需4天才能完成，由乙項(xiàng)目公司單獨(dú)做需6天才能完成，甲、乙、丙三個(gè)公司共同做2天就可完成。現(xiàn)因交工日期在即，需多公司合作，但甲公司因故退出，則由乙、丙公司合作完成此項(xiàng)目共需多少天（ ）？
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】設(shè)工作總量為12（4、6、2的最小公倍數(shù)），則甲、乙的效率分別為3、2，甲乙、丙的合作效率為6，丙的效率為6-3-2=1。故所求為12÷（2+1）=4天。
技巧二、已知多個(gè)主體的效率之比，可設(shè)效率為比例值
例2：一個(gè)工程的實(shí)施有甲、乙、丙三個(gè)工程隊(duì)可供選擇。已知甲、乙、丙的效率比為5∶4∶3。如果由甲單獨(dú)實(shí)施所用時(shí)間比由乙單獨(dú)實(shí)施所用時(shí)間少6天。問三個(gè)工程隊(duì)共同實(shí)施多少天可以完成（ ）？
A.10 B.11 C.12 D.13
【答案】設(shè)甲、乙、丙的效率分別為5、4、3，乙單獨(dú)完成這項(xiàng)工程用時(shí)t天，則甲單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要t-6天，則有5×（t-6）=4t，解得t=30，工作總量為4×30=120，三個(gè)工程隊(duì)共同實(shí)施需要120÷（5+4+3）=10天。
技巧三、已知多個(gè)主體的效率相同，可設(shè)效率為1
例3：建筑隊(duì)計(jì)劃150天建好大樓，按此效率工作30天后由于購買新型設(shè)備，工作效率提高20%，則大樓可以提前（ ）天完工。
A.20 B.25 C.30 D.45
【答案】設(shè)原計(jì)劃的效率為1，則提高后的效率為1.2，總工作量為150，則有150=30+1.2t，解得t=100，故可以提前150-130=20天完工。
練習(xí)題
例1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做要10天，乙單獨(dú)做要15天。若甲乙合作，需要多少天（ ）？
A.4 B.5 C.6 D.7
【答案】C【解析】題干已知多個(gè)主體完工時(shí)間，可設(shè)工作總量為完工時(shí)間的公倍數(shù)，而為了計(jì)算得更加簡便，一般設(shè)為最小公倍數(shù)。由題目已知，甲乙各自的完工時(shí)間，那么就設(shè)工作總量為10和15的最小公倍數(shù)，也就是30。通過公式：工作效率=工作總量÷工作時(shí)間，從而得到甲的效率是3，乙的效率是2。最終求合作所需時(shí)間，直接用工作總量÷合作工作效率和，即30÷（2+3）=6天，選C。
例2：甲、乙兩隊(duì)完成一項(xiàng)工程的效率比為2∶5。該項(xiàng)工程，若由甲工程隊(duì)先單獨(dú)做3天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)做4天，最后由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)合作6天剛好完成。問若由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成，需要多少天（ ）？
A.30 B.32 C.34 D.36
【答案】C【解析】題目直接給了甲乙的效率之比，已知多個(gè)主體效率關(guān)系時(shí)，一般可將效率最簡比設(shè)為各自的效率，也就是甲的效率是2，乙的效率是5。這道題最終求這項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)完成的時(shí)間，已知甲工程隊(duì)的效率，還需知道這項(xiàng)工程的工作總量。梳理一下題干所給的工作方式。甲工程隊(duì)單獨(dú)做3天，再由乙工程隊(duì)單獨(dú)做4天，最后甲乙兩個(gè)工程隊(duì)合作6天剛好完成，所以工程的工作總量為：3×2+4×5+6×（2+5）=68，最終甲工程隊(duì)單獨(dú)做所需的時(shí)間為68÷2=34天，選C。
例3：有一批工人進(jìn)行某項(xiàng)工程，每個(gè)人的工作效率相同。如果能再調(diào)來8個(gè)人，10天就能完成；如果能再調(diào)來3個(gè)人就要20天才能完成?，F(xiàn)在只能再調(diào)來2個(gè)人，那么完成這項(xiàng)工程需要多少天（ ）？
A.20 B.22 C.25 D.30
【答案】C【解析】設(shè)每個(gè)人的效率為1，原來有x個(gè)工人，所求為t天，則有（x+8）×10=（x+3）×20=（x+2）×t，解得x=2，t=25，選擇C。
用特值法搞定多者合作
公式
解題技巧
關(guān)于多者合作問題我們可以根據(jù)題干特征，將常考題型分為三類進(jìn)行設(shè)特值解題。
題型一：設(shè)工作總量（W）為特值：題干中已知不同主體單獨(dú)完成工程的時(shí)間，可設(shè)工作總量為已知完成工程時(shí)間的最小公倍數(shù)。
【例1】單獨(dú)完成某工程，甲、乙、丙三人分別需要10小時(shí)、15小時(shí)、20小時(shí)，開始三人一起干，后因工作需要，甲中途調(diào)走了，結(jié)果共用了6小時(shí)完成了這項(xiàng)工作。那么，甲實(shí)際工作了（ ）小時(shí)。
A.2 B.4 C.5 D.3
【答案】D【解析】題目中給出甲、乙、丙三人完成時(shí)間分別為10小時(shí)、15小時(shí)、20小時(shí)，設(shè)工作總量為10、15、20的最小公倍數(shù)60，得到甲、乙、丙的工作效率分別為60÷10=6、60÷15=4、60÷20=3。根據(jù)“甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=工作總量”建立等量關(guān)系，可以設(shè)甲工作的時(shí)間為t小時(shí)，乙、丙未調(diào)走則工作時(shí)間均為6小時(shí)，可以得到6t+4×6+3×6=60，解方程得到t=3天，選擇D項(xiàng)。
題型二：設(shè)工作效率（p）為特值：題干中已知工作效率的比值關(guān)系，可以設(shè)工作效率為已知工作效率比值的最簡比。
【例2】一項(xiàng)工程，甲先單獨(dú)做2天，然后與乙合作7天，這樣才能完成工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2:3。如果這項(xiàng)工程由乙單獨(dú)做，需要（ ）天才能完成。
A.22 B.23 C.24 D.26
【答案】D【解析】題目給出甲、乙的工作效率比是2:3，則設(shè)甲的工作效率為2，乙的工作效率為3，根據(jù)“甲的工作量+乙的工作量=
工作總量”建立等量關(guān)系，已知甲先工作2天，和乙再工作7天，可得工作總量（W）=2×（2×2+2×7+3×7）=78，根據(jù)工作量一定，設(shè)乙單獨(dú)完成需要t天，則3t=78，解方程得到t=26天，選擇D項(xiàng)。
題型三：設(shè)工作效率（p）為特值：題干中已知多個(gè)效率相同的人或物共同完成一項(xiàng)工程，可設(shè)定單個(gè)人或物的工作效率為1。
【例3】某制衣廠有一批衣服要加工完成，假設(shè)每個(gè)工人每天的效率相同，則計(jì)劃派180名工人工作12天即可完成。在工作4天后，由于特殊原因需要提前2天完成衣物的加工。問需要增加多少名工人（ ）？
A.40名 B.50名 C.60名 D.70名
【答案】C【解析】題目中給出多個(gè)效率相同的工人，可設(shè)每名工人的工作效率為1，180名工作的效率為180，根據(jù)工作總量一定，設(shè)需要增加n人，可以得到，180×12=180×4+（180+n）×（12-4-2），解方程得到n=60人，選擇C項(xiàng)。
通過以上講解，相信大家對(duì)于多者合作問題的三種常見設(shè)特值的題型有了一定的了解，大家可以通過做題鞏固這類題目，相信熟能生巧以后能夠?qū)τ谖覀償?shù)量關(guān)系得分有一定的幫助。
交替合作干活不累，找準(zhǔn)循環(huán)效率更高
一、題型特征
背景多與工程問題相關(guān)，但工作方式卻為多個(gè)主體按照一定規(guī)律交替輪流去做，如一項(xiàng)工作由甲先做1個(gè)小時(shí)，再交由乙做1個(gè)小時(shí)，再交由甲做1個(gè)小時(shí)，乙做1小時(shí)……如此下去，直到完成全部工作，這類問題稱為交替合作問題。
二、解題步驟
（一）只有正效率的交替合作
1.確定工作總量和各自工作效率，一般通過特值法運(yùn)算確定；
2.尋找循環(huán)規(guī)律，找出最小的循環(huán)周期并求出最小循環(huán)周期內(nèi)的工作量；
3.確定完整周期數(shù)：周期數(shù)=工作總量÷一個(gè)周期工作量；
4.確定完整周期之外剩余工作量所用時(shí)間；
5.根據(jù)問題求解答案。
（二）含有負(fù)效率的交替合作
1.確定工作總量和各自工作效率，一般通過特值法運(yùn)算確定；
2.尋找循環(huán)規(guī)律，確定每個(gè)循環(huán)周期中的效率峰值，峰值即為一個(gè)循環(huán)中的效率可達(dá)到的最大值；
3.找出最小的循環(huán)周期并求出最小循環(huán)周期內(nèi)的工作量；
4.確定完整周期數(shù)：周期數(shù)=（工作總量-峰值）÷一個(gè)周期工作量；
5.分析完整周期以外的剩余工作量。
三、經(jīng)典例題
【例1】完成一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要18小時(shí)，乙需要24小時(shí)，丙需要30小時(shí)，現(xiàn)甲、乙、丙的順序輪流工作1小時(shí)，當(dāng)工程完工時(shí)，乙需要工作多少個(gè)小時(shí)（ ）？
A.8小時(shí) B.7小時(shí)44分鐘 C.7小時(shí) D.6小時(shí)48分鐘
【答案】B【解析】根據(jù)甲、乙、丙單獨(dú)做需要18、24、30小時(shí)，可設(shè)工程量為360，那么甲的工作效率為360/18=20，乙的工作效率為360/24=15，丙的工作效率為360/30=12。而題干要求按甲、乙、丙的順序輪流工作1小時(shí)，即甲干1小時(shí)，乙干1小時(shí)，丙干1小時(shí)，接下來再次循環(huán)直到完工，我們就可以把甲干1小時(shí)，乙干1小時(shí)，丙干1小時(shí)來當(dāng)做一個(gè)循環(huán)來看，那么一個(gè)循環(huán)就可以完成20+15+12=47的工作量，360/47=7……31，即經(jīng)過7個(gè)循環(huán)之后還剩下31的工程量沒有完成，繼續(xù)按照甲乙丙各一小時(shí)的順序，甲1小時(shí)完成20，工程量剩下11，乙再工作11/15 60=44分鐘即可完工，那么在整個(gè)過程中乙工作了7小時(shí)44分鐘，故答案為B。
【例2】一個(gè)水池有甲乙兩個(gè)進(jìn)水管，一個(gè)丙出水管，單開甲管6小時(shí)注滿，單開乙管5小時(shí)注滿，單開丙管3小時(shí)放完。水池原來是空的，如果按甲乙丙的順序輪流開放三個(gè)水管。每輪中各水管均放開1小時(shí)，那么經(jīng)過多少小時(shí)后水池注滿（ ）？
A.57 B.58 C.59 D.60
【答案】C【解析】依題意，甲、乙進(jìn)水管注滿一池水分別需要6小時(shí)和5小時(shí)，丙放完一池水需要3小時(shí)，設(shè)工作總量為30，那么甲、乙、丙的效率分別為5、6、-10。按照甲乙丙的順序進(jìn)行，那么周期峰值就是5+6=11，那么周期數(shù)為（30-11）÷（5+6-1）=19那么所需要的時(shí)間為19×3+1+1=59小時(shí)，故答案為C。
通過上面兩道例題的講解，相信大家應(yīng)該對(duì)交替合作問題當(dāng)中只有正效率和含有負(fù)效率的兩種考查形式有所了解，希望大家接下來能夠通過練習(xí)鞏固并靈活運(yùn)用交替合作問題的解題思路。
