2022國(guó)考行測(cè)數(shù)量關(guān)系
集合間也可“擠兌”——容斥極值
容斥問題在你眼中是否繁瑣呢?采用容斥問題的公式或者借助文氏圖分析,相信雙通道可幫助同學(xué)們繞出容與斥的復(fù)雜;極值問題是否也帶給你困擾?常見和定求最值、為保證完成目的的最不利分析、行走最短路程的探索等,協(xié)助了同學(xué)們一點(diǎn)點(diǎn)熟知極值的脾性。而容斥問題與極值問題共同孕育的容斥極值,讓多集合在全集中使勁擠兌,數(shù)量關(guān)系與資料分析的考查中,它皆是???。很多同學(xué)感覺它走出了繁瑣與困擾,有些負(fù)負(fù)得正的韻味。如何分析應(yīng)用呢?
例題1:在陽(yáng)光明媚的一天下午,甲乙兩人給30盆花澆水,已知甲澆了20盆花,乙澆了17盆花。假設(shè)甲乙兩人給每盆花澆水量相同,且每盆花澆水不宜過量,若重復(fù)澆水需放到室外光照、風(fēng)量較好處養(yǎng)護(hù),那么兩人澆水后至少搬至室外多少盆花?
A.3 B.5 C.7 D.9
【解析】正確答案為C。共有30盆花,甲澆了20盆花,乙澆了17盆花,所以必會(huì)存在兩人均澆過的花,即重復(fù)澆水需移至室外養(yǎng)活的花。根據(jù)兩者容斥問題的公式:I=A+B-A∩B+M,即30=20+17-A∩B+M,得A∩B=7+M。若要A∩B最小,那么M的值也要盡可能小,M最小可取0,此時(shí)A∩B最小為7,故本題選C。(注:I表示全集,A、B分別表示全集中的兩個(gè)集合,M表示既不屬于集合A也不屬于集合B的部分,即補(bǔ)集)
在花朵都如此有求生欲的今天,這一題在考場(chǎng)上又怎會(huì)不寶貴呢?但經(jīng)過分析可知此題的計(jì)算難度并不高,所求為兩集合公共部分的最小值,即在全集中既不屬于A集合也不屬于B集合的M取得0的前提下求得(A∩B)min=A+B-I。以此類推,若在容斥中求極值,則全集中多集合間公共部分的最小值分為:
(A∩B)min=A+B-I;
(A∩B∩C)min=A+B+C-2I
(A∩B∩C∩D)min=A+B+C+D-3I
……
例題2:2019年年末全國(guó)大陸總?cè)丝?40005萬人,比上年末增加467萬人,其中,城鎮(zhèn)常住人口84843萬人,占總?cè)丝诒戎?常住人口城鎮(zhèn)化率)為60.60%,比上年末提高1.02個(gè)百分點(diǎn)。戶籍人口城鎮(zhèn)化率為44.38%,比上年末提高1.01個(gè)百分點(diǎn)。全國(guó)人戶分離的人口占大陸總?cè)丝诘?0%,其中,84.29%為流動(dòng)人口。
問題:2019年年末,城鎮(zhèn)常住人口中,男性人口占比至少為:
A.5.2% B.11.7% C.17.5% D.19.3%
【解析】正確答案為D。所求為城鎮(zhèn)常住人口中的男性人口占比,由表格可知,2019年年末,城鎮(zhèn)常住人口占全國(guó)總?cè)丝诒戎貫?0.6%,男性人口占全國(guó)總?cè)丝诒戎貫?1.1%,則既是城鎮(zhèn)常住人口又是男性人口占總?cè)丝诘谋戎刂辽贋?0.6%+51.1%-1=11.7%,則城鎮(zhèn)常住人口中,男性人口至少占11.7%÷60.6%≈19.3%,選擇D項(xiàng)。
行測(cè)最不利原則問題的解題方法
公務(wù)員考試行測(cè)中,很多考生面對(duì)數(shù)量關(guān)系的題目時(shí)總是束手無策,甚至沒有花時(shí)間去思考就直接全選了某一選項(xiàng),因?yàn)榇蠹铱傆X得數(shù)量關(guān)系的題目太難了,其實(shí)有部分題目是很簡(jiǎn)單,套路性很強(qiáng)的,是建議大家挑出來做的,比如接下來我們所要學(xué)習(xí)的最不利原則問題的題目,就是建議大家挑出來做的。那什么是最不利原則問題呢,又該怎么解決呢?今天就來幫助大家掌握這一解題技巧。
一、題型特征
問法中出現(xiàn)“至少……保證”
二、解題方法
最不利的情況數(shù)+1
注:最不利的情況即讓保證發(fā)生的事情“盡量不發(fā)生”
三、例題展示
【例1】從一副完整的撲克牌中,至少抽出多少?gòu)埐拍鼙WC抽到2張花色相同的牌?
A.2 B.3 C.5 D.7
【答案】D。
【解析】
(1)若問怎么才能保證抽到2張花色相同的牌?全部抽完,可以保證,但不是至少的情況;
(2)若問至少抽幾張,可以抽到2張花色相同的牌?抽2張就有可能是2張花色相同的牌,但沒法保證。
那為什么抽2張、3張、4張都不能保證抽到2兩張花色相同的牌呢?因?yàn)榇嬖诓话l(fā)生的可能性。所以要想保證的話,就需要把所有可能不發(fā)生的情況都找到,也就是讓保證的事情“盡量不發(fā)生“”,然后再取一張就一定能保證發(fā)生了。
四種花色各抽1張,這個(gè)時(shí)候再取一張,因?yàn)橛写笮⊥酰矝]法保證抽到2張花色相同的牌,需要把2張王也抽出,這樣所有不可能的情況都取完了,再取1張,就一定是有2張花色相同的牌,故至少取6+1=7張牌,才能保證有2張花色相同的牌。
注:出現(xiàn)“至少……保證”,就考慮“盡量不發(fā)生”,把所有可能不發(fā)生的情況都取完,即找到最不利的情況,然后“最不利的情況數(shù)+1”即為答案。
【例2】從一副完整的撲克牌中,至少抽出多少?gòu)埐拍鼙WC抽到6張花色相同的牌?
【答案】23。
【解析】問法中出現(xiàn)“至少……保證”,明確是最不利原則問題。保證抽到6張花色相同的牌,盡量不讓事情發(fā)生,也就是當(dāng)四種花色全都抽出了5張,大小王也都抽出之后,所有可能不發(fā)生的情況都找到了,也就是找到了最不利的情況,然后再抽1張,一定會(huì)有6張牌的花色相同,故4×5+2+1=23。
注:“盡量不發(fā)生”就考慮每樣少給一個(gè),即最不利的情況為“數(shù)字-1”
【例3】一堆撲克牌當(dāng)中有12張黑桃的,10張紅桃的,6張梅花的和4張方塊的,從中至少抽出多少?gòu)埐拍鼙WC抽到9張花色相同的牌?
【答案】27。
【解析】問法中出現(xiàn)“至少……保證”,明確是最不利原則問題。每種花色各取8張,但是,梅花和方塊數(shù)量不夠8張,如果不管他們的話,從黑桃和紅桃各取8張,如果再取一張就有可能是梅花和方塊,就無法保證抽到9張花色相同的牌,所以最不利的情況應(yīng)該是黑桃和紅桃各取8張,不夠8張的梅花和方塊全取,所以至少取出8×2+6+4+1=27張,才能保證抽到9張花色相同的牌。
注:如果夠就每樣少給一個(gè),如果不夠就全部取出
所以,最不利原則問題的解題核心就是讓保證發(fā)生的事情,盡量不發(fā)生,把所有可能不發(fā)生的情況都考慮到,也就是找到“最不利的情況”,然后“最不利的情況數(shù)+1”即可,相信大家通過一定量的題目練習(xí)都能夠輕松掌握這一解題技巧,在行測(cè)考試中輕松求解。
方陣問題中的小規(guī)律
在公務(wù)員考試中行測(cè)數(shù)量關(guān)系的這一部分有一種獨(dú)特的數(shù)學(xué)模型我們稱之為“方陣問題”,這類題目在實(shí)際的考查中相對(duì)會(huì)比較靈活多變,還是讓很多同學(xué)望而生畏,但其實(shí)只要我們掌握了其中的規(guī)律就可以輕松應(yīng)對(duì)。
首先我們要認(rèn)識(shí)什么樣的問題才是方陣問題,方陣其實(shí)是一種隊(duì)形,一個(gè)隊(duì)伍排隊(duì),橫著排叫行,豎著排叫列,若行數(shù)與列數(shù)都相等,正好排成一個(gè)正方形,這種隊(duì)形就叫做方陣。將一些物體按照這樣的方式排列起來,也叫做方陣。方陣分為實(shí)心方陣和空心方陣兩種,無論是哪種方陣在考試中都是圍繞方陣的層數(shù)、每層人數(shù)、總?cè)藬?shù)來展開問題的。
方陣問題主要對(duì)應(yīng)以下幾條規(guī)律,同學(xué)們一定要牢記:
1、每層人數(shù)=4×(每邊人數(shù)-1)
2、每層每邊人數(shù)依次增加2
3、每層總?cè)藬?shù)依次增加8(行人數(shù)為奇數(shù)的最內(nèi)層除外)
4、實(shí)心方陣總?cè)藬?shù)=最外層每邊人數(shù)的平方
那么具體如何應(yīng)用呢?實(shí)心方陣與空心方陣的區(qū)別再哪兒?我們來看下面的例題。
【例題1】若干學(xué)校聯(lián)合進(jìn)行團(tuán)體操表演,參演學(xué)生組成一個(gè)方陣,已知方陣由外到內(nèi)第二層有104人,則該方陣共有學(xué)生( )人。
A.625 B.841 C.1024 D.1369
【解析】此題是一個(gè)實(shí)心方陣的例題,已知由外到內(nèi)第二層有104人,通過每層總?cè)藬?shù)依次增加8可知最外層有104+8=112人,又通過每層人數(shù)=4×(每邊人數(shù)-1)可知該方陣最外層每邊有29人,所以總?cè)藬?shù)為29×29=841,故選擇B項(xiàng)。
【例題2】同學(xué)們排練團(tuán)體操,排成一個(gè)三層空心方陣多出9人,如果在空心部分再增加一層又差7人。問有多少名學(xué)生參加了團(tuán)體操比賽?
A.89 B.93 C.105 D.121
【解析】此題是一個(gè)空心方陣的例題,根據(jù)排成一個(gè)三層空心方陣多出9人,如果在空心部分再增加一層又差7人,可知空心方陣再加的一層共16人,根據(jù)規(guī)律每層總?cè)藬?shù)依次增加8可知,原來的三層空心方陣每層認(rèn)識(shí)分別為24人、32人、40人,所以總?cè)藬?shù)為24+32+40+9=105人,故選擇C項(xiàng)。
行程圖巧解行程問題
2021公務(wù)員考試行測(cè)備考正在進(jìn)行中,下面跟著中公教育走進(jìn)行程問題,利用行程圖巧妙的解答,把行程問題的分值收入囊中。
公式法
若題干等量關(guān)系明確,直接求解。即可通過基本公式:路程=速度×?xí)r間直接求解。
例題:貨車早上8點(diǎn)出發(fā),以60千米/小時(shí)的速度勻速駛往40千米外的貨場(chǎng)裝運(yùn)貨物,裝運(yùn)結(jié)束以后以去時(shí)的速度勻速返回,并于正午12點(diǎn)到達(dá),那么貨車裝運(yùn)貨物的時(shí)間是其在路上行駛時(shí)間的幾倍?
A.1 B.1.4 C.1.5 D.1.8
解析:兩地相距40千米,去時(shí)速度為60千米/小時(shí),可得去時(shí)用了40÷60=小時(shí),回程速度為60×=40千米/小時(shí),則回程所用時(shí)間為40÷40=1小時(shí),可得貨車行駛的總時(shí)間為1小時(shí),而總時(shí)間為4小時(shí),則裝運(yùn)貨物時(shí)間為4-1=2小時(shí),因此所求為倍。選擇B選項(xiàng)。
行程圖法
若運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜時(shí),可借助行程圖求解。畫行程圖時(shí)利用”路程”建立等量關(guān)系。
例1:郵遞員騎自行車從郵局到漁村送郵件,平常需要1小時(shí),某天在距離漁村2公里處自行車出現(xiàn)故障,郵遞員只好推車步行至漁村,步行速度只有騎車的,結(jié)果比平時(shí)多用22.5分鐘,問郵局到漁村的距離是多少公里?
A.16 B.17 C.18 D.19
解析:設(shè)平常郵遞員騎車的速度為v公里/小時(shí),t小時(shí)時(shí)自行車出現(xiàn)故障,22.5分鐘=小時(shí),結(jié)合題意作圖如下,
根據(jù)圖中線段關(guān)系可得,②,由①可得 ,代入②解得 v=16,因此郵局到漁村的距離是16×1=16公里。選擇A選項(xiàng)。
例2:甲乙二人上午8點(diǎn)同時(shí)從東村騎車到西村去,甲每小時(shí)比乙多騎6千米,中午12點(diǎn)甲到達(dá)西村后立即返回東村,在距西村15千米處遇到乙,東西兩村相距多遠(yuǎn)?
A.62 B.61 C.60 D.59
中公解析:設(shè)甲的速度為v千米/小時(shí),則乙的速度為(v-6)千米/小時(shí),甲到達(dá)西村后又走了t小時(shí)與乙相遇,結(jié)合題意作圖如下,
根據(jù)圖中線段間的關(guān)系可得,4v=4×(v-6)+(v-6)t+vt①,vt=15②。解得 t=1,v=15,故東、西兩村相距 15×4=60 千米。選擇C選項(xiàng)。
各位考生在利用行程圖解行程問題時(shí)一定要謹(jǐn)記,標(biāo)注數(shù)據(jù)時(shí)統(tǒng)一標(biāo)注為“路程”。如果題干中沒有直接表述路程的具體數(shù)據(jù),可通過路程=速度×?xí)r間來表示,遇到未知量可設(shè)為未知數(shù),即某段路程可用vt來表示。利用行程圖中同段路程相同來建立等量關(guān)系,不要懼怕未知數(shù)較多,計(jì)算時(shí)可進(jìn)行消元。希望各位考生對(duì)于行程圖法需多加練習(xí),準(zhǔn)確無誤的選擇答案。