行測數(shù)量關(guān)系考點
容斥問題知識點儲備
一、考情分析
容斥問題在最近幾年的國家公務(wù)員考試中出現(xiàn)的頻率逐漸增大，尤其是最近兩年都有出現(xiàn)。難度也逐漸增大，不再拘泥于最常規(guī)的兩個集合和三個集合的考查方式。在各省市的公務(wù)員考試中，容斥問題仍然出現(xiàn)活躍。因此，這一題型還是需要重點關(guān)注。
二、基本概念
涉及多個相互關(guān)聯(lián)的集合，要求根據(jù)集合間的相互關(guān)系計算集合中元素個數(shù)的問題稱為“容斥原理”問題。
三、技巧方法
(一)公式法解兩個集合容斥問題
兩個集合的容斥問題公式：
A∪B=A+B-A∩B
三個集合的容斥問題公式：
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C
(二)文氏圖法解兩個集合容斥問題
四、例題精講
例題1：某班有56人，每人至少參加一個興趣小組，參加生物組的有46人，參加科技組的有28人，兩組都參加的有多少人?（ ）
A.10 B.18 C.24 D.30
【答案】B【解析】集合A={參加生物組的人｝、集合B={參加科技組的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知兩組都參加的有A∩B=46+28-56=18人。故正確答案為B。
例題2：某單位有青年員工85人，其中68人會騎自行車，62人會游泳，既不會騎車又不會游泳的有12人，則既會騎車又會游泳的有多少人？（ ）
A.57 B.73 C.130 D.69
【答案】A【解析】我們來用集合Ⅰ表示所有的青年員工，A表示會騎自行車的人，B表示會游泳的人，則A∩B表示既會騎車又會游泳的人，現(xiàn)在設(shè)A∩B=x，把題中的數(shù)據(jù)一一填到表格里面，可以得到：
直接計算可以知道，68-x+x+62-x+12=85，因此x=57。故正確答案為A。
例題3：某專業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開設(shè)有甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的有28人，兼選甲、丙兩門課程的有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課程均選的有20人，問三門課程均未選的有多少人?（ ）
A.1人 B.2人 C.3人 D.4人
【答案】B【解析】三個集合的容斥原理問題。至少選了一門課的有40+36+30-28-26-24+20=48人，所以三門都沒選的有50-48=2人。故正確答案為B。
例題4：某班參加體育活動的學(xué)生有25人，參加音樂活動的有26人，參加美術(shù)活動的有24人，同時參加體育、音樂活動的有16人，同時參加音樂、美術(shù)活動的有15人，同時參加美術(shù)、體育活動的有14人，三種活動都參加的有5人，這個班共有多少名學(xué)生參加活動?（ ）
A.36 B.35 C.30 D.25
【答案】B【解析】設(shè)A={參加體育活動}、B={參加音樂活動}、C={參加美術(shù)活動}
根據(jù)題意，將所給的條件填入相應(yīng)的集合中，可畫出文氏圖如下：
根據(jù)圖示，可知全班共有11+5+9+10=35名學(xué)生參加活動。故正確答案為B。
例題5：某高校對一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊會計師考試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級考試的有89人，準(zhǔn)備參加計算機(jī)考試的有47人，三種考試都準(zhǔn)備參加的有24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人?（ ）
A.120 B.144 C.177 D.192
【答案】A【解析】利用圖示法解題。
圖中，黑色部分是準(zhǔn)備參加兩種考試的學(xué)生，灰色部分是準(zhǔn)備參加三種考試的學(xué)生。計算總?cè)藬?shù)時，黑色部分重復(fù)計算了一次，灰色部分重復(fù)計算了兩次，所以接受調(diào)查的學(xué)生共有63+89+47-24×2-46+15=120人。故正確答案為A。
濃度問題知識點儲備
一、考情分析
濃度問題對多數(shù)考生來說相對簡單，也是行測考試中的?？碱}型。只要掌握了濃度問題的公式，弄清楚溶質(zhì)與溶劑的變化，正確答題還是相對容易的。但是要想快速解題，就需要多加練習(xí)，熟練運用解決濃度問題的各種方法，即方程法、特值法以及十字交叉法的應(yīng)用。
二、基本概念和公式
溶液就是把某種固體或者液體放入水里面，兩者混在一起的產(chǎn)物。溶質(zhì)就是放進(jìn)去的那種固體或者液體，溶劑就是水。
濃度就是溶質(zhì)占到整個溶液的百分比。
三、技巧方法
濃度=溶質(zhì)÷溶液
溶液問題常見的有兩種，一種是溶液的混合，這種問題用公式解決;另外一種是單一溶 液的蒸發(fā)或稀釋，這種題目一般用比例法解決，即利用溶質(zhì)不變進(jìn)行求解。
混合溶液特性：一種高濃度的溶液A和一種低濃度的同種溶液C混合后得到溶液B，那么溶液B的濃度肯定介于溶液A和溶液C的濃度之間。
(一)方程法
方程法適用于大部分濃度問題，具有思維過程簡單的特點。一般來說，方程法有兩個要素，第一是設(shè)未知數(shù)，要求易于求解;第二是找等量關(guān)系列出方程。濃度問題中往往以濃度作為未知變量，這樣等量關(guān)系易于表達(dá)，但也伴有濃度數(shù)值大部分是小數(shù)不好計算的弊病，還需要在實際做題中細(xì)加體會。
(二)特值法
對于那些比例非常明確的濃度問題，我們可以用特值法來避免分?jǐn)?shù)的出現(xiàn)，從而簡化計算步驟。
(三)十字交叉法
對于兩種溶液混合的結(jié)果：某一溶液相對于混合后溶液，溶質(zhì)增加;另一種溶液相對于混合后溶液，溶質(zhì)減少。由于總?cè)苜|(zhì)不變，因此增加的溶質(zhì)等于減少的溶質(zhì)，這就是十字交叉法的原理。
四、例題精講
例題1：一杯含鹽15%的鹽水200克，要使鹽水含鹽20%，應(yīng)加鹽多少克?（ ）
A.12.5 B.10 C.5.5 D.5
【答案】A【解析】設(shè)應(yīng)加鹽x克，則(200×15%+x)÷(200+x)=20%，解得x=12.5。
例題2：兩個相同的瓶子裝滿某種化學(xué)溶液，一個瓶子中溶質(zhì)與水的體積比是3∶1，另一個瓶子中溶質(zhì)與水的體積比是4∶1，若把兩瓶化學(xué)溶液混合，則混合后的溶質(zhì)和水的體積之比是：（ ）
A.31∶9 B.7∶2 C.31∶40 D.20∶11
【答案】A【解析】1+3=4和1+4=5的最小公倍數(shù)為4×5=20，且3∶1=15∶5，4∶1=16∶4，設(shè)瓶子的容積為20，則混合后溶質(zhì)和水的體積比為(15+16)∶(5+4)=31∶9。故正確答案為A。
例題3：甲杯中有濃度為17%的溶液400克，乙杯中有濃度為23%的同種溶液600克，現(xiàn)在從甲、乙取出相同質(zhì)量的溶液，把甲杯取出的倒入乙杯中，把乙杯取出的倒入甲杯中，使甲、乙兩杯溶液的濃度相同，問現(xiàn)在兩杯溶液濃度是多少?（ ）
A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4%
【答案】B【解析】設(shè)混合后總濃度為x。
故正確答案為B。
例題4：15克鹽放入135克水中，放置一段時間后，鹽水重量變?yōu)?00克，這時鹽水的濃度是多少?濃度比原來提高了百分之幾?（ ）
A.75%，12.5% B.25%，12.5% C.15%，50% D.50%，62.5%
【答案】C【解析】原來的濃度是15÷(135+15)×100%=10%。水蒸發(fā)以后，鹽的質(zhì)量沒變，這時鹽水的濃度是15÷100×100%=15%，濃度比原來提高了(15%-10%)÷10%=50%。故正確答案為C。
例題5：一杯糖水，第一次加入一定量的水后，糖水的含糖百分比變?yōu)?5%;第二次又加入同樣多的水，糖水的含糖百分比變?yōu)?2%;第三次再加入同樣多的水，糖水的含糖百分比將變?yōu)槎嗌?（ ）
A.8% B.9% C.10% D.11%
【答案】C【解析】設(shè)第一次加水后糖水總量為100，糖為100×15%=15，則第二次加水后糖水總量變?yōu)?5÷12%=125，所以每次加入的水為125-100=25，故第三次加水后糖水的含糖百分比為15÷(125+25)=10%。
例題6：甲容器中有濃度為4%的鹽水150克，乙容器中有某種濃度的鹽水若干，從乙中取出450克鹽水，放入甲中混合成濃度為8.2%的鹽水，那么乙容器中的濃度是多少?（ ）
A.9% B.10% C.12% D.9.6%
【答案】D【解析】運用十字交叉法。設(shè)乙容器內(nèi)溶液濃度為X
故正確答案為D。
