行測(cè)考試一共分為五部分，包括言語(yǔ)理解與表達(dá)、數(shù)量關(guān)系、判斷推理、資料分析和常識(shí)判斷。對(duì)于很多考生來(lái)說(shuō)考試只有四部分，因?yàn)榇蟛糠挚忌鷷?huì)直接放棄數(shù)量關(guān)系。這樣做的原因無(wú)外乎就是時(shí)間不夠、題型多變不會(huì)做。那今天帶大家來(lái)解決數(shù)量關(guān)系中技巧性比較強(qiáng)的題型。
一、基本模型
【例1】現(xiàn)有一口深10米的井，有一只青蛙在井底，青蛙每次往上跳的高度為5米，由于井壁比較光滑，青蛙跳一次就會(huì)往下滑3米，問(wèn)這只青蛙經(jīng)過(guò)幾次才能跳出這口井?
A.3次 B.4次 C.5次 D.6次
【解析】C。閱讀題干，若青蛙往上跳5米為正，則往下滑3米為負(fù)，一正一負(fù)的交替上升。將一正一負(fù)作為一個(gè)周期，則一個(gè)周期內(nèi)升5 (-3)=2米。一個(gè)周期內(nèi)上跳1次，有的同學(xué)認(rèn)為10÷2=5，即跳5次就可以出井，事實(shí)上這是不對(duì)的。我們可以確定的是，青蛙是在上跳的過(guò)程中出井，而不是在下滑的過(guò)程中。那么我們就要在井口預(yù)留一個(gè)一下能跳出的距離(5米，即周期峰值)，當(dāng)青蛙跳到離井口5米之內(nèi)，再跳一次就可以跳出井?？偢叨仁?0米，一個(gè)周期前進(jìn)2米，(10-5)÷2=2.5，兩個(gè)周期不能滿足，即需要三個(gè)周期跳到離井口5米范圍內(nèi)，一個(gè)周期需要跳一次，三個(gè)周期即跳三次，此時(shí)青蛙再上跳一次即可跳出井口，即一共需要3+1=4次跳出井口。
二、青蛙跳井的應(yīng)用
【例2】甲乙兩人計(jì)劃從A地步行去B地，乙早上7：00出發(fā)，勻速步行前往，甲因事耽誤，9：00才出發(fā)。為了追上乙，甲決定跑步前進(jìn)，跑步的速度是乙步行的2.5倍，但是跑半小時(shí)都需要休息半小時(shí)，那么什么時(shí)候才能追上乙?
A.10：20 B.12：10 C.14：30 D.16：10
【解析】C。閱讀題干，結(jié)合2.5倍關(guān)系，設(shè)乙的速度為2，則甲的速度為5。乙出發(fā)2小時(shí)后，甲才出發(fā)，此時(shí)兩人相距4，甲比乙多跑4就能追上乙。甲每跑半小時(shí)都需要休息半小時(shí)，則前半小時(shí)，甲比乙多跑(5-2)×0.5=1.5，后半小時(shí)，甲比乙多跑(0-2)×0.5=-1。
(1)找周期：一個(gè)周期1個(gè)小時(shí)，一個(gè)周期時(shí)間內(nèi)甲追乙距離：1.5-1=0.5，即周期值為0.5;周期峰值為1.5;
(2)計(jì)算周期數(shù)：(4-1.5)÷0.5=5，即5個(gè)周期;
(3)計(jì)算總時(shí)間。經(jīng)過(guò)5個(gè)周期后還差1.5就可以追上，此時(shí)再經(jīng)過(guò)半小時(shí)即可追上，總時(shí)間為5+0.5=5.5小時(shí)。所以9:00再過(guò)5.5小時(shí)就可以追上，即14:30追上。
三、公式列表的應(yīng)用
【例1】某水果批發(fā)商從果農(nóng)那里以10元/千克的價(jià)格購(gòu)買了一批芒果，運(yùn)送到某地區(qū)售出，在長(zhǎng)途運(yùn)輸過(guò)程中有5%的芒果磕碰受損和另外5%的芒果過(guò)度成熟，因此無(wú)法賣出，其余部分以25元/公斤的價(jià)格售出后，如果不計(jì)運(yùn)輸?shù)绕渌M(fèi)用，這批芒果賺得利潤(rùn)12000元。則該批發(fā)商從果農(nóng)那里購(gòu)買了多少公斤芒果?
A.480 B.800 C.960 D.1000
【解析】C。解析：當(dāng)分析到題干條件“這批芒果賺得利潤(rùn)12000元”時(shí)，結(jié)合之前條件中出現(xiàn)了售價(jià)即“以25元/公斤的價(jià)格售出”，可以利用“利潤(rùn)=售價(jià)-成本”這個(gè)公式直接建立等量關(guān)系進(jìn)行求解。設(shè)批發(fā)商從果農(nóng)那里購(gòu)買了x千克，則25×(1-5%-5%)×x-10x=12000，解得x=960，故本題選C。
通過(guò)上述例題我們可以看到，一般在題干的最后會(huì)給出“利潤(rùn)是……”、“售價(jià)較之前多/少了……”、“甲的定價(jià)比乙的……”等條件，我們便可以利用利潤(rùn)、售價(jià)等公式列式建立起等量關(guān)系直接求解。當(dāng)然，在一些較為復(fù)雜的題目中，即使知道利用哪個(gè)條件建立等量關(guān)系，但由于題干中出現(xiàn)的量比較多，造成列式比較麻煩，很多考生覺(jué)得浪費(fèi)時(shí)間從而放棄。不要擔(dān)心，我們利用一道題給大家說(shuō)明較為復(fù)雜的題目的解決方式——列表梳理題干信息。如下題：
【例2】某家具店購(gòu)進(jìn)100套桌椅，每套進(jìn)價(jià)200元，按期望獲利50%定價(jià)出售。賣掉60套桌椅后，店主為提前收回資金，打折出售余下的桌椅。售完全部桌椅后，實(shí)際利潤(rùn)比期望利潤(rùn)低了18%。問(wèn)余下的桌椅是打幾折出售的?
A.七五折 B.八二折 C.八五折 D.九五折
【解析】C。解析：設(shè)后40套每套獲利x元，根據(jù)每套的利潤(rùn)=進(jìn)價(jià)×利潤(rùn)率，列表如下：
進(jìn)價(jià) | 獲利 | |
原計(jì)劃100套 | 200 | 200×50%×100 |
實(shí)際前60套 | 200 | 200×50%×60 |
實(shí)際后40套 | 200 | 40x |
實(shí)際100套 | 200 | 200×50%×100×（1-18%） |
根據(jù)前60套和后40套的利潤(rùn)和等于總利潤(rùn)，可以建立等量關(guān)系。有200×50%×60+40x=200×50%×100×(1-18%)，解得x=55，(200+55)÷(200+100)=0.85，即余下的桌椅是打八五折出售的。故本題選C。
四、年齡差不等的年齡問(wèn)題
【例1】在一個(gè)家庭里，現(xiàn)在所有成員的年齡加在一起是73歲。家庭成員中有父親、母親、一個(gè)女兒和一個(gè)兒子，父親比母親大3歲，女兒比兒子大2歲。四年前家庭所有人的年齡總和是58歲，現(xiàn)在兒子多少歲?
A.3 B.4 C.5 D.6
【解析】四個(gè)人經(jīng)過(guò)4年年齡和應(yīng)該增加4×4=16歲，但是實(shí)際為73-58=15歲，年齡差不相等，說(shuō)明4年前兒子還沒(méi)出生，實(shí)際年齡差小1歲，說(shuō)明現(xiàn)在兒子應(yīng)該為4-1=3歲，故本題答案為A。
【例2】小強(qiáng)的爸爸比小強(qiáng)的媽媽大3歲，全家三口的年齡總和是74歲，9年前這家人年齡總和是49歲，那么小強(qiáng)的媽媽今年多少歲?
A.32 B.33 C.34 D.35
【解析】經(jīng)過(guò)9年三人的年齡之和應(yīng)該增加9×3=27歲，但是實(shí)際是74-49=25歲，年齡差不相等，說(shuō)明9年前小強(qiáng)還未出生，實(shí)際年齡差小2歲，說(shuō)明小強(qiáng)現(xiàn)在應(yīng)該是9-2=7歲，則今年爸爸、媽媽年齡之和是74-7=67歲，爸爸比媽媽大3歲，則媽媽年齡是(67-3)÷2=32歲，故本題答案為A。
【例3】一個(gè)三口之家，爸爸比媽媽大3歲，現(xiàn)在他們一家人的年齡之和是80歲，10年前全家人的年齡之和是51歲，則女兒今年多少歲?
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】經(jīng)過(guò)10年一家三口的年齡之和應(yīng)該增加3×10=30歲，但是實(shí)際是80-51=29歲，年齡差不相等，說(shuō)明女兒10年前沒(méi)有出生，實(shí)際年齡差小1歲，說(shuō)明女兒現(xiàn)在應(yīng)該是10-1=9歲，故本題答案為C。
五、統(tǒng)籌問(wèn)題之貨物應(yīng)該放在哪
【例1】一條公路上依次有A、B、C3個(gè)倉(cāng)庫(kù)，AB間隔10公里，BC間隔20公里。其中A倉(cāng)庫(kù)有10噸貨物，B倉(cāng)庫(kù)有5噸貨物，C倉(cāng)庫(kù)有20噸貨物。現(xiàn)在要把所有貨物都集中到一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，若貨物運(yùn)費(fèi)為100元每噸每公里，問(wèn)集中到哪個(gè)倉(cāng)庫(kù)時(shí)，所有貨物的總運(yùn)費(fèi)最少?
A. A倉(cāng)庫(kù) B.B倉(cāng)庫(kù) C. C倉(cāng)庫(kù) D.無(wú)法確定
【解析】根據(jù)題意畫圖如下：
如圖，當(dāng)支點(diǎn)位于AB之間時(shí)，支點(diǎn)左側(cè)貨物重量之和只有A倉(cāng)庫(kù)的貨物重10噸，而右側(cè)有BC倉(cāng)庫(kù)貨物重量和為25噸，根據(jù)由輕向重移動(dòng)原則，支點(diǎn)右移至BC之間，此時(shí)支點(diǎn)左側(cè)有AB倉(cāng)庫(kù)貨物重量和為15噸，支點(diǎn)右側(cè)有C倉(cāng)庫(kù)重量和為20噸，根據(jù)由輕向重原則支點(diǎn)還需要右移，此時(shí)支點(diǎn)只能放在C倉(cāng)庫(kù)，即貨物最優(yōu)集中地就為C倉(cāng)庫(kù)。
【例2】在一條公路上每隔50公里有一個(gè)倉(cāng)庫(kù)，共有5個(gè)倉(cāng)庫(kù)，一號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有5噸貨物，二號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有35噸貨物，五號(hào)倉(cāng)庫(kù)存有30噸貨物，其余兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)是空的?，F(xiàn)在要把所有的貨物集中存放在一個(gè)倉(cāng)庫(kù)里，如果每噸貨物運(yùn)輸1公里需要1元運(yùn)輸費(fèi)，則最少需要多少運(yùn)費(fèi)?
A、4500元 B、4750元 C、5000元 D、6000元
【解析】根據(jù)非封閉路徑貨物集中問(wèn)題，根據(jù)題意作圖如下
假設(shè)支點(diǎn)在1、2號(hào)倉(cāng)庫(kù)之間，支點(diǎn)左側(cè)重量只有1號(hào)倉(cāng)庫(kù)的貨物重5噸，右側(cè)為2號(hào)和5號(hào)倉(cāng)庫(kù)貨物重量之和65噸，由輕向重原則支點(diǎn)右移至2、3號(hào)倉(cāng)庫(kù)之間，此時(shí)支點(diǎn)左側(cè)重量為1、2號(hào)倉(cāng)庫(kù)貨物重量之和40噸，而支點(diǎn)右側(cè)重量為5號(hào)倉(cāng)庫(kù)的30噸，由輕向重原則支點(diǎn)應(yīng)當(dāng)左移，由此支點(diǎn)應(yīng)當(dāng)設(shè)在2號(hào)倉(cāng)庫(kù)，即貨物應(yīng)當(dāng)集中于2號(hào)倉(cāng)庫(kù)才能使運(yùn)費(fèi)最省，此時(shí)運(yùn)費(fèi)為,因此本題選擇B選項(xiàng)。
六、排列組合之巧解方法
【例1】某單位安排五位工作人員在星期一至星期五值班，每人一天且不重復(fù)。若甲、乙兩人都不能安排在星期五值班，則不同的排班方法共有多少種?
【解析】周五有特殊限制要求，就可以先安排有特殊限制要求的元素，先從除了甲、乙之外的三人中選一人安排在星期五，有C=3種方法，然后剩下的4人排好順序安排在周一到周四，有A=24種方法，分步進(jìn)行用乘法原則一共有3×24=72種方法。
【例2】有兩個(gè)三口之家一起出行去旅游，他們被安排坐在兩排相對(duì)的座位上，其中一排有3個(gè)座位，另一排有4個(gè)座位。如果同一個(gè)家庭的成員只能被安排在同一排座位相鄰而坐，那么共有多少種不同的安排方法?
【解析】每個(gè)三口之家要相鄰則可以把每家的三口人捆綁起來(lái)當(dāng)做一個(gè)元素，每個(gè)家庭選在3座還是4座有2種情況，其中坐在3座的家庭有A=6種情況，坐在4座的家庭由于只能相鄰而坐有2×A=12種情況，總數(shù)為2×6×12=144種方法。
【例3】公司為召開(kāi)聯(lián)歡晚會(huì)，分別安排了3個(gè)和 2個(gè)節(jié)目，要求同一公司的節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)，則安排節(jié)目出場(chǎng)順序的方案共有多少種?
【解析】要求同一公司的節(jié)目不能連續(xù)出場(chǎng)時(shí)即元素不能相鄰，此時(shí)只能把一個(gè)公司的2個(gè)節(jié)目插在另一個(gè)公司的三個(gè)節(jié)目中間所形成的兩個(gè)空當(dāng)中，相當(dāng)于兩個(gè)公司的節(jié)目各自進(jìn)行全排列即可，即A×A=12種方法。
七、圓桌排列
【例1】例1.5個(gè)人圍坐在一個(gè)大圓桌旁，問(wèn)共有多少種不同的坐法?
A.120 B.24 C.60 D.30
【解析】B題目為基礎(chǔ)的圓桌排列，求5個(gè)人圍坐一桌不同的坐法數(shù)。不妨假設(shè)這5個(gè)人分別為甲、乙、丙、丁、戊，首先考慮甲在落座時(shí)，5個(gè)座位都可選擇，但是由于圓桌自身存在旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，無(wú)論坐在哪個(gè)座位，受到中心旋轉(zhuǎn)作用后其實(shí)都是一樣的位置，故甲只有1種坐法，當(dāng)乙開(kāi)始落座時(shí)，由于甲已經(jīng)坐好，圓桌不再有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，有了甲為參照物，則剩余4個(gè)座位各不相同，故乙有4種坐法。當(dāng)丙開(kāi)始落座時(shí)，有了甲乙的參照，剩余3個(gè)座位各不相同，故丙有3種坐法，同理丁、戊分別有2種和1種坐法。而由于落座過(guò)程是分步進(jìn)行，所以這5個(gè)人的坐法數(shù)為種，選擇B選項(xiàng)。
【例2】掌上珊瑚憐不得，卻教移作上陽(yáng)花。珊瑚常用來(lái)比喻珍貴而難得的事物，而在一次考古挖掘中，出土的8顆散落的珊瑚珠更是彌足珍貴。這些珊瑚珠每一顆都高度中心對(duì)稱，其上的雕花又各有不同，具有極大的藝術(shù)價(jià)值。經(jīng)考古專家鑒定后得知這些珊瑚珠子實(shí)際上來(lái)自于一串手串。問(wèn)可以將這8顆珊瑚珠還原成多少種不同形態(tài)的手串?
A.1280 B.2520 C.5010 D.40320
【解析】B此題研究8顆不同的珠子連成手串有多少種，手串為圓形，故可以聯(lián)系圓桌排列。根據(jù)公式，8顆珠子圍成一個(gè)圓形排列數(shù)為種，但是圓珠和圓桌的本質(zhì)區(qū)別在于，圓珠可從前后兩面進(jìn)行觀察，因此還存在一個(gè)鏡面對(duì)稱性，沒(méi)有順逆時(shí)針排序的區(qū)別，也就是原本同樣的一串手串，每一種排列方式都被當(dāng)作兩種來(lái)計(jì)算，所以實(shí)際手串的種類數(shù)為，本題答案是B
通過(guò)上面的例題可以看出，要掌握住這類題型的解題步驟。學(xué)會(huì)相應(yīng)技巧之后，需要進(jìn)行一定的題目練習(xí)以提高對(duì)技巧的熟練掌握度和增加自己的題目?jī)?chǔ)備量。從而在以后的做題過(guò)程中，能夠快速解決此類問(wèn)題，從而在考試過(guò)程中取得相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。
