行測數(shù)量關系解題方法
數(shù)學運算之方陣問題的求解
方陣問題是數(shù)學運算中的一類常考題型，一些考生第一次碰到方陣問題的時候不會求解，為了幫助大家能夠快速地解決方陣問題，下面就來講一講方陣問題。
方陣問題可分為實心方陣和空心方陣，其實空心方陣可以理解為一個大的實心方陣中減去一個小的實心方陣，所以如果會解決實心方陣問題，那么空心方陣問題自然也能會解決。
先來了解一些實心方陣的常用公式。
一個人數(shù)為n×n的實心方陣：
1.方陣總人數(shù)=
。
2.方陣最外層人數(shù)=4n-4。
3.方陣相鄰層人數(shù)相差8(特殊情況：最里面一層人數(shù)為1時，與相鄰層相差7，其他情況相鄰層人數(shù)均相差8)。
【例題1】某次運動會需組織長寬相等的方陣。組織方安排了一個鮮花方陣和一個彩旗方陣，兩個方陣分別入場完畢后又合成一個方陣，鮮花方陣的人恰好組成新方陣的最外圈。已知彩旗方陣比鮮花方陣多28人，則新方陣的總人數(shù)為( )。
A.100 B.144 C.196 D.256
【答案】A【解析】設彩旗方陣為n×n，則總人數(shù)為
、最外層人數(shù)4n-4，由于鮮花方陣的人恰好組成新方陣的最外圈，則鮮花方陣總人數(shù)為4n-4+8=4n+4，根據(jù)彩旗方陣比鮮花方陣多28人可得：
-(4n+4)=28，解得n=8或n=-4(不符合實際)，所以n=8，彩旗方陣總人數(shù)64，鮮花方陣總人數(shù)64-28=36，新方陣的總人數(shù)為64+36=100，故本題選A。
【例題2】有一列士兵排成若干層的中空方陣，外層共有68人，中間一層共有44人，則該方陣士兵的總人數(shù)是( )。
A.296 B.308 C.324 D.348
【答案】B【解析】題干描述為一個中空方陣，最外層有68，中間一層44，根據(jù)相鄰層人數(shù)相差8，68-44=24，所以最外層與中間層相差三層，也就是如果最外層是第一層，往里面數(shù)中間層是第四層，所以這個中空方陣一共有七層，且每一層人數(shù)構成公差為8的等差數(shù)列，中空方陣總人數(shù)為44×7=308，故本題選B。
不定方程
數(shù)量關系是行測中的必考題型，難度相對較大。通常情況，拿到題目大家都習慣使用方程法進行分析，方程法也確實是我們數(shù)量關系部分的重要方法。但有時候，方程可以列出來，但未知量的個數(shù)卻大于獨立方程的個數(shù)，沒有相應的解題思路。那你可能是遇到了方程中的一類特殊類型——不定方程。那我們應該如何快速解決這一問題呢？
首先我們需要知道什么是不定方程。不定方程是指方程的未知量的個數(shù)多于獨立方程的個數(shù)，分為兩種情況：在正整數(shù)范圍內求解；在任意數(shù)范圍內求解。接下來我們通過幾道例題進行闡述。
【例題1】辦公室人員使用紅、藍兩種顏色的文件袋裝29份相同的文件。每個紅色文件袋可裝7份文件，每個藍色文件袋可裝4份文件。要使每個文件袋都恰好裝滿，需要紅色、藍色文件袋分別為幾個？（ ）
A.1、6 B.2、4 C.4、1 D.3、2
【答案】D【解析】假設紅色文件袋x個，藍色文件袋y個，使每個文件袋都恰好裝滿可得
。代入A、B、C選項都不符合，故選擇D選項。另解：因x、y只能為正整數(shù)，所以4y必為偶數(shù)，又因29為奇數(shù)，要使等式成立，7x必為奇數(shù)，即x為奇數(shù)，只有A、D符合。代入A選項，y不是整數(shù)，不符合題意，故本題選D。
因數(shù)量關系都是單選題，在沒有其它思路的情況下，最快的解題方法就是直接結合選項進行代入求解。但部分題目通過代入較為麻煩，我們還可以用奇偶性進行解題：奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，利用此性質進行求解。
【例題2】小張的孩子出生的月份乘以29，出生的日期乘以24，所得的兩個乘積加起來剛好等于900。問孩子出生在哪一個季度？（ ）
A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度
【答案】D【解析】假設孩子出生月份為x，月份為y，易得29x+24y=900，得到x的值即可得知為第幾季度。一年有12個月，需要代入12次，顯然不大可取。故需要轉換思路，此題可以從數(shù)字特性上入手：29為質數(shù)，只有1和29兩個因數(shù)，和900沒有非1公因數(shù)；24和900有公因數(shù)12，即24能被12整除，900也能被12整除，要使等式成立，29x也得能被12整除，x在1-12這個正整數(shù)范圍內，只能取x=12。故本題選D。
“例題2”這道不定方程題目有真實的生活背景，月份，日期只能取整數(shù)，即在正整數(shù)范圍內求解不定方程。用的是數(shù)字的整除特性，整除特性是用的較多的一種解決不定方程的數(shù)字特性。尾數(shù)法也能解決一些不定方程：某一未知量系數(shù)為5的倍數(shù)時，它的尾數(shù)只能為5或0，利用此特性來解決相應的不定方程。
除了在正整數(shù)范圍內求解不定方程，還有第二類題型：在任意數(shù)范圍內求解不定方程。
【例題3】現(xiàn)有甲、乙、丙三種商品，若購買甲1件、乙3件、丙7件共需200元；若購買甲2件、乙5件、丙11件共需350元。則購買甲、乙、丙各1件共需多少元。（ ）
A.50 B.100 C.150 D.200
【答案】B【解析】設甲、乙、丙的單價分別為x、y、z，易得
本題所求為x+y+z的和，觀察選項可知x+y+z為一個定值，即無論其中某個未知數(shù)如何取值，其他兩個未知數(shù)都有相對應的解使x+y+z的和為此定值。觀察列式發(fā)現(xiàn)z的系數(shù)最大，不妨讓z=0，此時可得
解得x=50，y=50，即x+y+z=50+50+0=100，故本題選B。
“例題3”所求的x+y+z的和為一個定值，且對x、y、z并未有正整數(shù)的約束，屬于在任意數(shù)范圍內求解不定方程。解決此類問題一般讓未知數(shù)系數(shù)最大的未知數(shù)為0，特值進行求解。
關注性價比高
在行測考試中，數(shù)量關系一直是難度相對較大的部分。在數(shù)量關系中有沒有一些思路比較固定，用較少的時間復習，卻能有較大的收獲題目呢？那么下面給大家介紹幾種題型。
【排列組合之隔板模型】
(1)含義
相同元素的不同分堆：把n個相同元素分給m個不同的對象，每個對象至少1個元素，問有多少種不同分法的問題，可以采用“隔板法”。
(2)公式
方法數(shù)：
。
(3)條件
這類問題模型適用前提相當嚴格，必須同時滿足以下3個條件：
①所要分的元素必須完全相同。
②所要分的元素必須分完，不允許有剩余。
③每個對象至少分到1個，不允許出現(xiàn)分不到元素的對象。
簡單應用：題干滿足隔板模型的所有條件。
【例題1】有10個相同的籃球，分給7個不同的班，每班至少一個，有多少種分配方案？（ ）
A.36 B.64 C.84 D.210
【答案】C【解析】此題滿足隔板模型的所有條件，直接套用公式
種分配方案。
【古典概率之定位法解題】
含義：當遇到要同時考慮相互聯(lián)系的元素時，可以先將其中一個固定，再考慮其他元素的所有可能情況，從而進行求解。
【例題2】一張紙上畫了5排共30個格子，每排格子數(shù)相同，小王將1個紅色和1個綠色棋子隨機放入任意一個格子(2個棋子不在同一格子)，則2個棋子在同一排的概率：（ ）
A.不高于15% B.15%～20% C.20% D.20%以上
【答案】B【解析】方法一，5排共有30個格子，每排格子數(shù)相同，則每排30÷5=6個格子。總事件是從30個格子中選取2個格子分別放入兩個顏色不同的棋子，樣本數(shù)為
，所求事件是2個棋子在同一排，則可以先選擇1排，再從這一排的6個格子中選取2個格子分別放入兩個顏色不同的棋子，分步相乘，樣本數(shù)為
。故所求概率為
故本題選B。
方法二，5排共有30個格子，每排格子數(shù)相同，則每排有30÷5=6個格子。先從30個格子中任選1個安排紅色棋子，此時還剩下29個空格子。若想2個棋子在同一排，則綠色棋子只能挑選紅色棋子所在排剩余5個格子中的一個，故2個棋子在同一排的概率為
故本題選B。
【行程問題之牛吃草模型】
含義：同一草場問題是在同一個草場上的不同牛數(shù)的幾種不同吃法，其中原有草量、每頭牛每天吃草量和草每天的生長數(shù)量，三個量是不變的。這種題型相對較為簡單，直接套用牛吃草問題公式即可進行解答。
(1)追及：一個量使原有草量變大，一個量使原有草量變小
原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生長的草)×天數(shù)
【例題3】牧場上一片青草，每天牧草都勻速生長。這片牧草可供10頭牛吃20天，或者可供15頭牛吃10天。問：可供25頭牛吃幾天？
【答案】5【解析】牛在吃草，草在勻速生長，所以是牛吃草問題中的追及問題，原有草量=(牛每天吃掉的草-每天生長的草)×天數(shù)，設每頭牛每天吃的草量為“1”，每天生長的草量為X，可供25頭牛吃T天，所以(10-X)×20=(15-X)×10=(25-X)×T，先求出X=5，再求得T=5。
(2)相遇：兩個量都使原有草量變小
原有草量=(牛每天吃掉的草+其他原因每天減少的草量)×天數(shù)
【例題4】由于天氣逐漸冷起來，牧場上的草不僅不長大，反而以固定的速度在減少。已知某塊草地上的草可供20頭牛吃5天，或可供15頭牛吃6天。照此計算，可供多少頭牛吃10天？（ ）
【答案】5【解析】牛在吃草，草在勻速減少，所以是牛吃草問題中的相遇問題，原有草量=(牛每天吃掉的草+每天減少的草)×天數(shù)，設每頭牛每天吃的草量為“1”，每天減少的草量為X，可供Y頭牛吃10天，所以(20+X)×5=(15+X)×6=(Y+X)×10，先求出X=10，再求得Y=5。
排列組合中的“三種方法”
“黑板上的排列組合你舍得解開嗎……”一聽到這句歌詞很多同學都在想，這是我舍不舍得的問題嗎？這是我會不會的問題啊！那么對于排列組合而言真的那么難嗎？作為數(shù)量關系板塊中的高頻考點，我們真的束手無策嗎？從最近幾年的試題來看，這部分的難度確有上升的趨勢，而且題型也越來越靈活，所以我們帶大家一起來學習排列組合中的三種小方法。
排列組合的核心：統(tǒng)計方法數(shù)
【例題1】甲、乙、丙、丁、戊五個人排成一列，其中甲不站在頭或尾的位置，共有多少種不同的排列方法？（ ）
A.24 B.36 C.72 D.96
【答案】C【解析】甲是這5個人里面有限制條件的元素，所以就優(yōu)先考慮甲。讓他站在除頭尾以外的中間的3個位置，有3種選擇；然后安排除甲以外的另外4個人，有
種方法。所以最終共有3×24=72種方法，故本題選C。
小結：優(yōu)限法：對于有限制條件的元素(或位置)的排列組合問題，在解題時優(yōu)先考慮這些元素(或位置)，再去解決其它元素(或位置)。
【例題2】由數(shù)字1、2、3、4、5、6、7組成無重復數(shù)字的七位數(shù)，求三個偶數(shù)必相鄰的七位的個數(shù)：（ ）
A.459 B.720 C.920 D.4590
【答案】B【解析】因為三個偶數(shù)2、4、6必須相鄰，所以先將2、4、6三個數(shù)宇“捆綁”在一起有
種不同的“排列”方法，再將捆綁后的元素與1、3、5、7進行全排列，有
種方法，根據(jù)乘法原理共有6×120=720種不同的排法，所以共有720個符合條件的七位數(shù)，故選擇B項。
小結：捆綁法：在解決對于某幾個元素要求相鄰的問題時，先整體考慮，將相鄰元素視作一個大元素進行排序，然后再考慮大元素內部各元素間順序的解題策略。
【例題3】某學習平臺的學習內容由觀看視頻、閱讀文章、收藏分享、論壇交流、考試答題五個部分組成。某學員要先后學習完這五個部分，若觀看視頻和閱讀文章不能連續(xù)進行，則該學員學習順序的選擇有多少種？（ ）
A.96 B.72 C.24 D.120
【答案】B【解析】由題意可得，觀看視頻和閱讀文章不能連續(xù)進行，故可以采用插空法，首先考慮另外三個元素，有
，這三個元素會形成4個空，然后從這4個空中選出2個安排觀看視頻和閱讀文章，則有
屬于分步過程，所以總的有6×12=72種，故本題選B。
小結：插空法：插空法就是先將其他元素排好，再將所指定的不相鄰的元素插入它們的間隙或兩端位置，從而將問題解決。
